РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1624 Добавить в вариант

Для числовой последовательности $x_0,$ $x_1,$ ..., $x_n,$ $x_n плюс 1$ выполняются соотношения

$2x_n=x_0 плюс x_1 плюс ... плюс x_n минус 1 минус x_n$

при всех $n=0, 1, 2, ...$ Найдите каждый член x_n такой последовательности и значения сумм $S_n=x_0 плюс x_1 плюс ... плюс x_n.$

Спрятать решение

Решение.

Имеем

$x_n= левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x_0 плюс x_1 плюс умножить на s плюс x_n минус 1 правая круглая скобка .$

Тогда $x_0$   — любое, и по индукции $x_n= дробь: числитель: x_0 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка конец дроби$ при $n больше или равно 1,$ и $S_n=x_0 левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка .$

Ответ: $x_n= дробь: числитель: x_0 4 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка конец дроби$ при $n больше или равно 1,$ $S_n=x_0 левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка ,$ x₀  — любое.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Олимпиада школьников Надежда энергетики, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Анализ. Последовательности, Методы алгебры. Метод математической индукции

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь