В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, BCD, CDA и DAB лежат на одной окружности.
Докажем, что стороны четырёхугольника, образованного точками пересечения медиан треугольников ABC, BCD, CDA и DAB параллельны (и пропорциональны) сторонам исходного четырёхугольника ABCD. Значит, он имеет те же углы и является вписанным тогда и только тогда, когда вписанным является ABCD. Обозначим середину стороны CD за М, а точки пересечения медиан треугольников BCD и CDA за Р и Q. По свойству медиан, 
по теореме, обратной теореме Фалеса это влечёт параллельность PQ и АВ (и то, что отношение их длин равно 1 к 3). Аналогично доказывается параллельность остальных пар сторон. Строго говоря, отсюда следует подобие четырёхугольников с коэффициентом 
но это для решения задачи не нужно.