РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1637 Добавить в вариант

Разложите на простые множители число 989 · 1001 · 1007 + 320.

Решение.

Догадаться до этого разложения можно с помощью следующего соображения: если $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка левая круглая скобка x минус c правая круглая скобка ,$ то

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = минус 2 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка x в квадрате плюс 2 f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка ,$

то есть при $a плюс b плюс c=0$ сумма $f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка минус x правая круглая скобка$ постоянна. В нашем случае можно взять

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка ,$

тогда заданное число равно

$f левая круглая скобка 999 правая круглая скобка минус 2 f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус f левая круглая скобка минус 999 правая круглая скобка =1009 умножить на 997 умножить на 991.$

Легко проверить, что все три множителя здесь простые.

Ответ: $1009 умножить на 997 умножить на 991.$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Основная теорема арифметики

Спрятать решение · Помощь