сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной ABCDA1B1C1D1 приз­мы лежит ромб ABCD, в ко­то­ром CD = 3 и угол ABD= 30 гра­ду­сов . Сфера про­хо­дит через вер­ши­ны D, C, B, B1, A1, D1.

а)  Най­ди­те пло­щадь круга, по­лу­чен­но­го в се­че­нии сферы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, C и D.

б)  Най­ди­те угол A1CD.

в)  Пусть до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что ра­ди­ус сферы равен 5. Най­ди­те объём приз­мы.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Так как диа­го­на­ли ромба яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми его углов, по­лу­ча­ем, что ост­рый угол ромба равен 60°. В се­че­нии шара плос­ко­стью ACD по­лу­ча­ем круг, опи­сан­ный около тре­уголь­ни­ка BCD. Цен­тром этого круга яв­ля­ет­ся точка A, а его ра­ди­ус равен сто­ро­не ромба, то есть 3. Зна­чит, пло­щадь равна 9 Пи .

б)  Пусть O  — центр шара. Опу­стим из точки O пер­пен­ди­ку­ляр OH на плос­кость ABCD. Тогда тре­уголь­ни­ки OHC, OHB и OHD равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе (OH  — общая, O C=O B=O D как ра­ди­у­сы сферы). Зна­чит, H C=H B=H D, по­это­му H  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка CBD, т. е. точка H сов­па­да­ет с точ­кой C.

Таким об­ра­зом, от­ре­зок OA пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABCD. Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что от­ре­зок O C_1 пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти A_1 B_1 C_1 D_1 . Итак, диа­го­наль AC_1 яв­ля­ет­ся вы­со­той приз­мы, а центр сферы O  — это её се­ре­ди­на. По­это­му \angle C_1 AB=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOC из­вест­ны ги­по­те­ну­за CO=6 и катет A C=3. Зна­чит,

A O=3 ко­рень из 3 , CA_1=6 ко­рень из 3 ;

V=A C_1 умно­жить на S_A B C D=6 ко­рень из 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =81 .

Ответ: а) 9 Пи ; б) 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ; в) 81

Спрятать критерии
Критерии проверки:

До­ка­за­но, что одна из диа­го­на­лей приз­мы пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­ни­ям — 2 балла.

За вер­ное ре­ше­ние каж­до­го из пунк­тов — 2 балла.


Аналоги к заданию № 1657: 1664 Все