Имеется неограниченное количество пробирок трёх видов — А, В и С. Каждая из пробирок содержит один грамм раствора одного и того же вещества. В пробирках вида А содержится 10% раствор этого вещества, в пробирках В — 20% раствор и в С — 90% раствор. Последовательно, одну за другой, содержимое пробирок переливают в некоторую ёмкость. При этом при двух последовательных переливаниях нельзя использовать пробирки одного вида. Какое наименьшее количество переливаний надо сделать, чтобы получить в ёмкости 20,17% раствор? Какое наибольшее количество пробирок вида C может быть при этом использовано?
Пусть пробирок вида А, В и С взяли соответственно a, b и с штук. По условию
Левая часть последнего равенства делится на 1000, следовательно, на 1000 должна делиться и правая часть. Значит, наименьшее возможное значение суммы 
равно 1000. Покажем, что эта оценка достижима. То есть, докажем, что существуют неотрицательные целые числа a, b и с такие, что
Последние три неравенства служат необходимым и достаточным условиям того, что удастся избежать использования пробирок одного вида при двух последовательных переливаниях. Из первых двух уравнений системы находим
Подставив эти выражения в последние три неравенства системы (1), получим
Отсюда наибольшее значение c равно 73. Ему соответствующие значения a и b могут быть найдены из (2). Они, очевидно, удовлетворяют неравенствам системы (1). Таким образом, разрешимость в неотрицательных целых числах системы (1) доказана.
Ответ: наименьшее количество переливаний равно 1000. При этом могут быть использованы максимум 73 пробирки вида С.