РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1724 Добавить в вариант

Сколько существует натуральных чисел $n принадлежит левая квадратная скобка 20 182 019; 20 192 018 правая квадратная скобка ,$ для которых число $левая квадратная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени n правая квадратная скобка$ четно? (Здесь через [x] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее x.)

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим последовательности

$x_n= левая круглая скобка дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка ,$ $\quad y_n= левая круглая скобка дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка ,$ $\quad a_n=x_n плюс y_n .$

Поскольку $минус 1 меньше дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше 0,$ имеем $y_n принадлежит левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка$ при чётных $n, y_n принадлежит левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка$ при нечётных n. Тогда

$левая квадратная скобка x_n правая квадратная скобка = левая квадратная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка правая квадратная скобка$

при чётных n равно $a_n минус 1,$ а при нечётных  — просто $a_n .$ Кроме того, имеем $a_n плюс 2=a_n плюс 1 плюс a_n$ при всех натуральных n. Так как $a_1=1,$ $a_2=3,$ то $a_3=4$ и полу чаем такую последовательность чётности для $a_n левая круглая скобка n=1, 2, \ldots правая круглая скобка :$ неч, неч, чёт, неч, неч, чёт, ...

Тогда $левая квадратная скобка x_n правая квадратная скобка$ связано с $a_n$ так:

n	6k	$6k плюс 1$	$6k плюс 2$	$6k плюс 3$	$6k плюс 4$	$6k плюс 5$
a_n	чет	нечет	нечет	чет	нечет	нечет
[x_n]	$an минус 1$	a_n	$an минус 1$	a_n	$an минус 1$	a_n
[x_n]	нечет	нечет	чет	чет	чет	нечет

Так как $x_n=a_n минус y_n,$ то для номеров n вида 6k, $6 k плюс 1,$ $6k плюс 5$ число $левая квадратная скобка x_n правая квадратная скобка$ нечётно, а для номеров n вида $6 k плюс 2,$ $6 k плюс 3,$ $6 k плюс 4$ чётно. Поскольку $20 182 019=6 k_1 плюс 5,$ $20 192 018=6 k_2 плюс 2,$ среди чисел $n=20 182 019, \ldots, 20 192 018$ искомых

$3 умножить на дробь: числитель: 20 192 , 018 минус 20 182 022, знаменатель: 6 конец дроби плюс 1=4999.$

Ответ: 4999.

Аналоги к заданию № 1724: 1725 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный) 2 этап, 2019 год

Классификатор: Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Помощь