Опре­де­лим для ори­ен­ти­ро­ван­ной за­мкну­той ло­ма­ной на плос­ко­сти число по­во­ро­та сле­ду­ю­щим об­ра­зом: пу­стим по ней ля­гуш­ку, в каж­дой вер­ши­не она по­вер­нет на не­ко­то­рый угол от −π до π (по­ло­жи­тель­ным счи­та­ем по­во­рот про­тив ча­со­вой стрел­ки). Сумма углов по­во­ро­та крат­на (по­сколь­ку по мо­ду­лю каж­дый угол по­во­ро­та есть раз­ность углов на­прав­ле­ний зве­ньев в со­от­вет­ству­ю­щей вер­ши­не, а такая сумма раз­но­стей те­ле­ско­пи­че­ски со­кра­ща­ет­ся.) Част­ное назовём чис­лом по­во­ро­та, это целое число.

На­при­мер, если ло­ма­ная не­са­мо­пе­ре­се­ка­ю­ща­я­ся, число по­во­ро­та равно Это ин­ту­и­тив­но по­нят­ное утвер­жде­ние можно до­ка­зать ин­дук­ци­ей, под­раз­би­вая ло­ма­ную и следя за из­ме­не­ни­ем чисел по­во­ро­та.

Пусть на плос­ко­сти на­ри­со­ва­но n за­мкну­тых ло­ма­ных об­ще­го по­ло­же­ния: ни­ка­кие три пря­мые, со­дер­жа­щие их зве­нья, не пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, ни­ка­кие две вер­ши­ны не сов­па­да­ют и ни­ка­кие три не лежат на одной пря­мой. Обо­зна­чим через числа по­во­ро­тов этих ло­ма­ных, а через x  — общее число точек пе­ре­се­че­ния зве­ньев этих ло­ма­ных, вклю­чая са­мо­пе­ре­се­че­ния.

Утвер­жде­ние. Число четно. При для ло­ма­ной из усло­вия за­да­чи по­лу­ча­ем тре­бу­е­мое: в самом деле, если вое углы впи­сан­ной ло­ма­ной тупые, то она все­гда по­во­ра­чи­ва­ет в одном на­прав­ле­нии, а тогда сумма углов по­во­ро­та равна минус сумма углов, что крат­но По­это­му число по­во­ро­та чётно, а не­чет­но, чтд.

До­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния может быть про­ве­де­но ин­дук­ци­ей по числу точек пе­ре­се­че­ния. Если зве­нья AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, от­ме­тим на cоот­вет­ству­но­щих от­рез­ках PA, PB, PC, PD точки A₁, B₁, C₁, D₁, до­ста­точ­но близ­ко к P и за­ме­ним от­рез­ки на Ве­ли­чи­на x умень­шит­ся на 1, число ло­ма­ных из­ме­нит­ся на 1, а сумма по­во­ро­тов не из­ме­нит­ся. Таким об­ра­зом, чет­ность ве­ли­чи­ны y не из­ме­нит­ся. Так мы сведём утвер­жде­ние к слу­чаю, когда ло­ма­ные не имеют точек пе­ре­се­че­ния, т. е.