По окружности движутся n > 4 точек, каждая — с постоянной скоростью. Для любых четырех из них есть момент времени, когда они все встречаются. Докажите, что есть момент, когда все точки встречаются.
(С. Иванов)
Лемма. Пусть 
— арифметические прогрессии с натурального разностями 
причем любые две из них пересекаются. Тогда найдется число, принадлежащее множеству значений всех этих прогрессий.
Доказательство. Индукция по числу прогрессий. База для 
прогрессий очевидна. Докажем переход от n к 
Не умаляя общности (и по индукционному предположению) можно считать, что прогрессии 
начинаются с нуля. Пусть 
Поскольку прогрессии
имеют общую точку, мы можем считать, что первый член прогрессии 
равен 
(где a — некоторое натуральное число). А поскольку прогрессии и тоже пресекаются, прогрессия должна содержать число вида 
Если 
то мы нашли общую точку всех прогрессий. В противном случае прогрессия содержит все числа вида
По китайской теореме об остатках существует число k, которое делится на 
и имеет остаток 1 при делении 
делится и на d, и на 
т. е. принадлежит множеству значений всех прогрессий.
Покажем, как из леммы следует утверждение задачи. Заметим, что если какие-то три точки встретились вместе только один раз, то и все остальные точки также должны были в этот момент времени с ними встретиться. Если же одни и те же три точки встретились хотя бы два раза, то они будут встречаться бесконечно много раз, причем времена их встреч образуют арифметическую прогрессию. Зафиксируем пару точек A и B и запустим отсчет времени с момента какой-нибудь их встречи.
Пусть в следующий раз они встретились через t секунд, тогда далее все их встречи будут происходить в моменты времени kt, где 
Для каждой точки C моменты ее встреч с парой A, B образуют арифметическую прогрессию 
(здесь 
—
—
По условию точки A, B, C и D встретятся вместе, поэтому прогрессии 
и 
пересекаются для любой пары точек C и D. Тогда, согласно лемме, у всех таких прогрессий есть общая точка P. Значит, в момент времени tP все точки встретятся вместе.