Пусть X и Y  — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC со сто­ро­на­ми AB и BC со­от­вет­ствен­но, а точки и   — цен­тры впи­сан­ных окруж­но­стей тре­уголь­ни­ков EGD и EFD. Не­слож­но по­ка­зать, что ка­са­тель­ная, па­рал­лель­ная хорде, про­хо­дит через се­ре­ди­ну дуги, ко­то­рую стя­ги­ва­ет хорда. Из чего сле­ду­ет, что точка X лежит на пря­мой а точка Y  — на пря­мой По свой­ству ка­са­тель­ной по­это­му тре­уголь­ни­ки BXE и BDX по­доб­ны и имеет место ра­вен­ство И по ана­ло­гич­ным со­об­ра­же­ни­ям Но а зна­чит,

Далее за­ме­тим, что по лемме Ман­си­о­на и Под­став­ляя в по­след­нее ра­вен­ство, по­лу­ча­ем, что

от­ку­да

Те­перь мы можем до­ка­зы­вать, что бис­сек­три­са угла GDF делит по­по­лам от­ре­зок XY, и это будет рав­но­силь­но утвер­жде­нию за­да­чи. Пусть еще и бис­сек­три­са угла GDF пе­ре­се­ка­ет вто­рич­но впи­сан­ную в тре­уголь­ник ABC окруж­ность в точке E₁. Тогда и

В силу по­след­не­го ра­вен­ства, дуги, а зна­чит, и хорды, EX и E₁Y равны, и Под­став­ляя эти ра­вен­ства в (∗), по­лу­ча­ем т. е.

До­мно­жая по­след­нее ра­вен­ство на

по­лу­ча­ем ра­вен­ство пло­ща­дей что, оче­вид­но, воз­мож­но толь­ко в том слу­чае, когда DE₁ делит XY по­по­лам.