Спро­еци­ру­ем все пря­мо­уголь­ни­ки на ось x, в ре­зуль­та­те каж­дый из них пе­рейдёт в от­ре­зок

Обо­зна­чим через A наи­боль­шую ко­ор­ди­на­ту на­ча­ла, а через B  — наи­мень­шую ко­ор­ди­на­ту конца (то есть Для даль­ней­ше­го ре­ше­ния не­су­ще­ствен­но, какое из чисел A и B боль­ше: воз­мож­но и ра­вен­ство. Не­за­ви­си­мо от этого от­ре­зок, огра­ни­чен­ный чис­ла­ми A и B, будем обо­зна­чать AB (в слу­чае он вы­рож­да­ет­ся в точку).

Каж­дый от­ре­зок пе­ре­се­ка­ет­ся (хотя бы по одной точке) с от­рез­ком АB. Дей­стви­тель­но, если для ка­ко­го-то от­рез­ка это не так, то он рас­по­ло­жен либо це­ли­ком слева, либо це­ли­ком спра­ва от AB. В пер­вом слу­чае но это про­ти­во­ре­чит опре­де­ле­нию числа B как наи­мень­ше­го из во вто­ром слу­чае но и это ана­ло­гич­ным об­ра­зом не­воз­мож­но. Точно так же можно спро­еци­ро­вать пря­мо­уголь­ни­ки н вер­ти­каль­ную ось, по­лу­чив от­рез­ки Мы об­на­ру­жим, что если то каж­дый от­ре­зок пе­ре­се­ка­ет­ся с от­рез­ком CD.

Обо­зна­чим бук­вой R пря­мо­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках (A, C), (A, D), (B, C), (B, D). Воз­вра­ща­ясь от про­ек­ций к пря мно­уголь­ни­кам, мы по­лу­ча­ем, что каж­дый пря­мо­уголь­ник из усло­вия пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мо­уголь­ни­ком R.

До­ка­жем те­перь, что хотя бы один из ста пря­мо­уголь­ни­ков ис­ход­но­го на­бо­ра со­дер­жит в себе все че­ты­ре вер­ши­ны пря­мо­уголь­ни­ка R (тогда по­лу­чит­ся, что он со­дер­жит весь R, а зна­чит, пе­ре­се­ка­ет­ся со всеми пря­мо­уголь­ни­ка­ми на­бо­ра). Усло­вим­ся го­во­рить что у каж­до­го пря­мо­уголь­ни­ка есть левая, пра­вая, ниж­няя и верх­няя ко­ор­ди­на­ты (это числа a_i, b_i, c_i и из преды­ду­ще­го рас­суж­де­ния).

Хотя бы 90 пря­мо­уголь­ни­ков пе­ре­се­ка­ют­ся с тем пря­мо­уголь­ни­ком, левая ко­ор­ди­на­та ко­то­ро­го равна B (такой пря­мо­уголь­ник есть, см. опре­де­ле­ние числа B), зна­чит, есть не более 9 пря­мо­уголь­ни­ков, левая ко­ор­ди­на­та ко­то­рых боль­ше B.

Ана­ло­гич­но, есть не более 9 пря­мо­уголь­ни­ков, пра­вая ко­ор­ди­на­та ко­то­рых мень­ше A; не более 9 пря­мо­уголь­ни­ков, ниж­няя ко ор­ди­на­та ко­то­рых боль­ше D; и не более 9 пря­мо­уголь­ни­ков, верх­няя ко­ор­ди­на­та ко­то­рых мень­ше C.

Зна­чит, у осталь­ных пря­мо­уголь­ни­ков (а их не мень­ше чем т. е. не мень­ше 64) пра­вая ко­ор­ди­на­та не мень­ше A₁ левая не боль­ше B, верх­няя не мень­ше C, а ниж­няя не боль­ше D.

Возьмём лю бой из таких пря­мо­уголь­ни­ков. Мы до­ка­за­ли, что его пра­вая ко­ор­ди­на­та не мень­ше A: од­на­ко его левая ко­ор­ди­на­та не боль­ше A (по опре­де­ле­нию числа A). Зна­чит, этот пря­мо­уголь­ник пе­ре­се­ка­ет пря­мую Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что он пе­ре­се­ка­ет пря­мые Оче­вид­но, из этого сле­ду­ет что он со­дер­жит все че­ты­ре точки (A, C), (A, D), (B, C), (B, D). Тре­бу­е­мый пря­мо­уголь­ник най­ден.