Пусть n  — четно. Пред­по­ло­жим, что нам уда­лось нуж­ным об­ра­зом рас­ста­вить числа в таб­ли­це. Пусть в не­ко­то­ром столб­це на­пи­са­ны числа a, b и c. Тогда де­лит­ся на n и, в част­но­сти, четно. Если бы среди чисел a, b и с было два или три не­чет­ных, то число   — было бы не­чет­но. Сле­до­ва­тель­но, среди чисел a, b и c не более од­но­го не­чет­но­го. Таким об­ра­зом, в каж­дом столб­це не более од­но­го не­чет­но­го числа, а во всей таб­ли­це их не более n. С дру­гой сто­ро­ны, в каж­дой стро­ке не­чет­ных чисел а во всей таб­ли­це  — Про­ти­во­ре­чие.

Пусть n  — не­чет­но. Рас­ста­вим в таб­ли­це числа сле­ду­ю­щим об­ра­зом (это пока не со­всем те числа, ко­то­рые нам нужны): в пер­вой и во вто­рой стро­ках по­ста­вим числа 2, 4, 6, ..., 2n, а в тре­тьей стро­ке  — числа −1, −2, −3, ..., −n. Таким об­ра­зом, числа в столб­це имеют вид 2k, 2k, −k, а сумма их по­пар­ных про­из­ве­де­ний равна

что де­лит­ся на Даль­ше за­ме­ним все числа, не крат­ные n, на их остат­ки при де­ле­нии на n, а числа, крат­ные n, за­ме­ним на n. В новой таб­ли­це стоят уже на­ту­раль­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие n, и в каж­дом столб­це сумма по­пар­ных про­из­ве­де­ний чисел по-преж­не­му де­лит­ся на n. По­это­му до­ста­точ­но лишь убе­дить­ся в том, что в каж­дой стро­ке стоят раз­лич­ные числа, но это оче­вид­но, по­сколь­ку в из­на­чаль­ной рас­ста­нов­ке все числа в стро­ках да­ва­ли раз­лич­ные остат­ки при де­ле­нии на n.

В клет­ках таб­ли­цы за­пи­са­ны на­ту­раль­ные числа. В каж­дой из строк по од­но­му разу встре­ча­ют­ся числа Для каж­до­го столб­ца сумма по­пар­ных про­из­ве­де­ний сто­я­щих в нём чисел крат­на n. Для каких пар чисел k и n это воз­мож­но?

Ответ: при не­чет­ных n.