Пред­по­ло­жим, что таких чле­нов ко­неч­ное число и пусть   — по­след­ний из них. Из усло­вия сле­ду­ет, что все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти боль­ше 10, по­это­му

Рас­смот­рим наи­мень­ший про­стой де­ли­тель p числа (это воз­мож­но, т. к. Число вза­им­но про­сто с чис­ла­ми

До­ка­жем, что при и Ис­поль­зу­ем ин­дук­цию по k. База при оче­вид­на. Пе­ре­ход:

При по­след­ний НОД равен 1 и как и тре­бо­ва­лось. При этот НОД равен и

что и тре­бо­ва­лось. Итак, член по­сле­до­ва­тель­но­сти с но­ме­ром ровно в два раза пре­вос­хо­дит свой номер, что про­ти­во­ре­чит пред­по­ло­же­нию.

Мой до­ро­гой Ват­сон, вы не по­ни­ма­е­те, как можно до­га­дать­ся рас­смат­ри­вать наи­мень­ший про­стой де­ли­тель числа Ра­зу­ме­ет­ся, ге­ни­аль­ных до­га­док для ре­ше­ния не тре­бу­ет­ся  — до­ста­точ­но ис­сле­до­вать по­сле­до­ва­тель­ность, сде­лав не­сколь­ко шагов после

На­при­мер,

и видно, что зна­че­ние за­ви­сит от того, де­лит­ся ли на 2. Если де­лит­ся, то   — и это член, ко­то­рый мы ис­ка­ли! Если же нет, то Смот­рим даль­ше:

При­гля­ди­тесь, до­ро­гой друг: от чего за­ви­сит этот НОД? Что Вы го­во­ри­те? От того, де­лит­ся ли на 3? Что ж, Вы правы! Сде­лав еще пару ходов, мы по­лу­чим во­про­сы, де­лят­ся ли на 4, на 5 и так далее. Но го­раз­до при­ят­нее иметь дело с де­ли­мо­стью од­но­го и того же числа, чем кучи раз­ных! Наши де­ли­мо­сти легко пе­ре­фор­му­ли­ро­вать: де­лит­ся ли на 2, на 3, на 4, на 5 и так далее. Пер­вый ответ «да» встре­тит­ся при де­ли­мо­сти на ми­ни­маль­ный про­стой де­ли­тель числа Оста­лось стро­го до­ка­зать по­лу­чен­ную за­ко­но­мер­ность по ин­дук­ции, что и сде­ла­но в ре­ше­нии.

За­ме­ча­ние. При утвер­жде­ние за­да­чи не­вер­но: если то а затем и т. д., при всех В этой по­сле­до­ва­тель­но­сти лишь пер­вые два члена равны своим удво­ен­ным но­ме­рам.