В остроугольном треугольнике ABC провели медиану AM, высоту AH и биссектрису AL. Оказалось, что точки B, H, L, M, C лежат на прямой BC именно в таком порядке, причем
Докажите, 
(А. Кузнецов)
Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, K — середина дуги BC. Из условия следует, что K лежит на прямой
треугольники 
и 
подобны и 
Решение 1. Середина P отрезка AK лежит на отрезке KL. Точка O лежит внутри треугольника ABC, точка P — снаружи, потому 
откуда 
чтд.
Решение 2. Достаточно проверить, что 
Для этого сравним острые углы 
и 
опирающиеся на эти хорды. Так как
достаточно сравнить 
и 
Для тангенсов этих углов очевидно неравенство
откуда и следует требуемое неравенство.
Решение 3. Преобразуем:
чтд.