За­ме­тим, что опе­ра­ция об­ра­ти­ма. Для нечётного n по­ка­жем, что можно все мо­не­ты оди­на­ко­во ори­ен­ти­ро­вать. Разобьём мо­не­ты на груп­пы под­ряд иду­щих монет, име­ю­щих оди­на­ко­вую ори­ен­та­цию. Если групп хотя бы две, то они че­ре­ду­ют­ся, по­это­му их чётное число. Сле­до­ва­тель­но, хотя бы в одной груп­пе чётное число монет. Пе­ре­вер­нув эти мо­не­ты, мы умень­шим ко­ли­че­ство групп. По­сле­до­ва­тель­но умень­шая число групп та­ки­ми дей­стви­я­ми, мы можем сде­лать всего одну груп­пу и, зна­чит, по­вер­нуть все мо­не­ты оди­на­ко­во. Таким об­ра­зом, име­ет­ся не более двух ва­ри­ан­тов рас­по­ло­же­ния монет, ко­то­рые нель­зя по­лу­чить друг из друга. По­сколь­ку опе­ра­ция не ме­ня­ет чётность числа орлов, рас­по­ло­же­ние со всеми ор­ла­ми нель­зя пе­ре­ве­сти в рас­по­ло­же­ние со всеми реш­ка­ми. Стало быть, ва­ри­ан­тов рас­по­ло­же­ния ровно два.

Пе­рей­дем те­перь к слу­чаю чётного n. На­учим­ся пе­ре­во­дить рас­по­ло­же­ния монет в кон­фи­гу­ра­цию как можно более про­сто­го вида, а затем по­счи­та­ем ко­ли­че­ство таких про­стых кон­фи­гу­ра­ций, ко­то­рые нель­зя по­лу­чить друг из друга. От­ме­тим на окруж­но­сти точку возле любой из монет. Разобьём мо­не­ты на груп­пы под­ряд иду­щих монет, име­ю­щих оди­на­ко­вую ори­ен­та­цию. Будем пе­ре­во­ра­чи­вать груп­пы, в ко­то­рых чётное число монет, до тех пор, пока такие груп­пы не ис­чез­нут или не оста­нет­ся ровно одна груп­па. Если оста­лось не­сколь­ко групп, то они все нечётны. От­ме­тим, что если в какой-то груп­пе есть хотя бы три мо­не­ты, то две из них можно пе­ре­ки­нуть в со­сед­нюю груп­пу. Дей­стви­тель­но, это можно сде­лать за­ме­на­ми

Таким об­ра­зом, все све­дем к кон­фи­гу­ра­ции, в ко­то­рой есть одна боль­шая груп­па, а осталь­ные мо­не­ты че­ре­ду­ют­ся. Более того, можно счи­тать, что пер­вая мо­не­та боль­шой груп­пы на­хо­дит­ся возле от­ме­чен­ной точки. Таким об­ра­зом, кон­фи­гу­ра­ции раз­ли­ча­ют­ся лишь ко­ли­че­ством монет в боль­шой груп­пе и их ори­ен­та­ци­ей. Если груп­па ровно одна, то ори­ен­та­ция не имеет зна­че­ния, по­сколь­ку все мо­не­ты можно пе­ре­вер­нуть.

По­ка­жем, что все осталь­ные кон­фи­гу­ра­ции нель­зя по­лу­чить друг из друга. Дей­стви­тель­но, наша опе­ра­ция не ме­ня­ет раз­ность ко­ли­че­ства орлов на чётных ме­стах и ко­ли­че­ства орлов на нечётных ме­стах. Когда боль­шая груп­па со­сто­ит из од­но­го орла, т. е. когда все орлы стоят на нечётных ме­стах, а решки на чётных, эта раз­ность равна Уве­ли­че­ние ко­ли­че­ства орлов в боль­шой груп­пе умень­ша­ет эту раз­ность на 1, по­это­му все раз­но­сти от 0 до воз­мож­ны. Ана­ло­гич­но, когда боль­шая груп­па со­сто­ит из решек по­лу­чат­ся раз­но­сти от −1 до Итого по­лу­ча­ем раз­лич­ную кон­фи­гу­ра­цию.

Ответ: 2 ва­ри­ан­та для нечётных n и ва­ри­ант для чётных n.