РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1814 Добавить в вариант

Дан остроугольный треугольник ABC. На отрезке AC и на продолжении стороны BC за точку C выбираются такие переменные точки X и Y соответственно, что $∠\angle ABX плюс \angle CXY = 90°.$ Точка T  — проекция точки B на прямую XY. Докажите, что все такие точки T лежат на одной прямой.

(С. Берлов)

Спрятать решение

Решение.

Пусть точка H  — основание высоты, опущенной из точки B на сторону AC. Достроим прямоугольный треугольник AHB до прямоугольника AHBK. Покажем, что все точки T лежат на прямой KH.

Для этого возьмем на ней точку $T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и проведем через $T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ прямую перпендикулярно $B T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Пусть она пересекает сторону $A C$ в точке X, а продолжение стороны $B C$ в точке $Y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Если мы докажем, что $\angle A B X плюс \angle C X Y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ то поскольку точка Y однозначно определяется точкой X, получится, что $Y=Y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и, значит, соответствующая им точка T совпадает с точкой $T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и, в частности, лежит на прямой KH.

Так как $\angle B T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X=\angle B H X=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ четырехугольник $B X H T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ (если точка X лежит на отрезке CH) или четырехугольник $B H X T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ (если точка X лежит на отрезке AH) является вписанным. Тогда

$\angle C X Y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =\angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X A=\angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B H$

и $\angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка H B=\angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X B .$ Кроме того $\angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка H B=\angle A B H,$ поскольку это углы между диагоналями прямоугольника и стороной $B H .$ Осталось заметить, что

$\angle A B X плюс \angle C X Y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =\angle A B X плюс \angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B H=\angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B X плюс \angle A B H =$
$=\angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B X плюс \angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка H B=\angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B X плюс \angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $\angle A B X плюс \angle C X Y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =\angle A B X плюс \angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B H=$
$=\angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B X плюс \angle A B H =\angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B X плюс \angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка H B=$
$=\angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка B X плюс \angle T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Санкт-Петербургская олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Вспомогательная окружность

Спрятать решение · Помощь