До­ка­жем, что при не­чет­ной длине оже­ре­лья все бу­син­ки можно сде­лать од­но­цвет­ны­ми. Любое оже­ре­лье раз­би­ва­ет­ся на блоки под­ряд иду­щих бу­си­нок оди­на­ко­во­го цвета. Среди них обя­зан при­сут­ство­вать блок не­чет­ной длины (до­пу­стим, крас­ный). Пе­ре­кра­сим в нём сна­ча­ла все бу­син­ки с чет­ным но­ме­ром, а потом все осталь­ные его бу­син­ки. В ре­зуль­та­те этот блок ста­нет синим и сольётся с со­сед­ни­ми си­ни­ми бло­ка­ми ко­ли­че­ство бло­ков умень­шит­ся. Рано или позд­но оста­нет­ся один блок, чего мы и хо­те­ли. При­ве­дем два объ­яс­не­ния, по­че­му чет­ные n не под­хо­дят.

I спо­соб. (ин­ва­ри­ант). Легко убе­дить­ся, что при любом пе­ре­кра­ши­ва­нии ко­ли­че­ство пар со­сед­них бу­си­нок вида к-к либо не ме­ня­ет­ся, либо ме­ня­ет­ся ровно на 2, т. е. в любом слу­чае не ме­ня­ет­ся чет­ность этого числа. То же самое верно и про число пар вида с−с. В од­но­цвет­ном оже­ре­лье (чет­ной длины) оба эти ко­ли­че­ства четны. По­это­му из оже­ре­лья, в ко­то­ром оба эти ко­ли­че­ства не­чет­ны, нель­зя по­лу­чить ни одно из двух од­но­цвет­ных оже­ре­лий. При чет­ном n та­ко­во, на­при­мер, оже­ре­лье

II спо­соб. (кри­ти­че­ские оже­ре­лья). Для n, крат­но­го четырём, рас­смот­рим оже­ре­лье вида ...−к−к−с−ск−к−с−с−..., в ко­то­ром че­ре­ду­ют­ся пары крас­ных и пары синих бу­си­нок. С этим оже­ре­льем нель­зя сде­лать ни од­но­го пе­ре­кра­ши­ва­ния. В част­но­сти, из него нель­зя по­лу­чить и од­но­цвет­ное.

Если n четно, но имеет вид не­мно­го из­ме­ним вид кри­ти­че­ско­го оже­ре­лья: ...−к−к−к−к−с−с−кк−с−с−... (один из крас­ных бло­ков те­перь имеет длину 4). С ним можно сде­лать лишь одно пе­ре­кра­ши­ва­ние, точ­нее, два ана­ло­гич­ных  — пе­ре­кра­сить вто­рую или тре­тью крас­ную бу­син­ку в длин­ном блоке. С по­лу­чен­ным оже­ре­льем можно сде­лать лишь две опе­ра­ции: об­рат­ную к толь­ко что про­де­лан­ной или опе­ра­цию, пе­ре­кра­ши­ва­ю­щую бу­син­ку, со­сед­нюю с толь­ко что пе­ре­кра­шен­ной.

После этого пе­ре­кра­ши­ва­ния оже­ре­лье будет иметь тот же вид (че­ре­ду­ю­щи­е­ся пары к−к и с−с и один блок с−с−с−с) и его можно будет лишь за­ме­нить за две опе­ра­ции об­рат­но на ис­ход­ное.

Ответ: при всех не­чет­ных n.