сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Даны два не­чет­ных на­ту­раль­ных числа a и b. До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет такое на­ту­раль­ное k, что хотя бы одно из чисел b в сте­пе­ни k минус a в квад­ра­те и a в сте­пе­ни k минус b в квад­ра­те де­лит­ся на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2018 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

(А. Го­ло­ва­нов)

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Будем ре­шать обоб­щен­ную за­да­чу. Дано на­ту­раль­ное число n и два не­чет­ных на­ту­раль­ных числа a и b. До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет такое на­ту­раль­ное k, что хотя бы одно из чисел b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k пра­вая круг­лая скоб­ка минус a в квад­ра­те и a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k пра­вая круг­лая скоб­ка минус b в квад­ра­те де­лит­ся на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка .

Вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щим из­вест­ным утвер­жде­ни­ем: пусть число c минус 1 дает оста­ток 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , где k боль­ше или равно 2 . Тогда c в квад­ра­те минус 1 дает оста­ток 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пусть a в квад­ра­те минус 1 де­лит­ся на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка и не де­лит­ся на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , а b в квад­ра­те минус 1 де­лит­ся на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета пра­вая круг­лая скоб­ка и не де­лит­ся на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Оче­вид­но, что при этом  альфа , бета боль­ше или равно 2. Тогда a в квад­ра­те минус 1 дает оста­ток 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка альфа плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , а b в квад­ра­те минус 1 дает оста­ток 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета пра­вая круг­лая скоб­ка при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Пусть  альфа мень­ше или равно бета , по­ло­жим для крат­ко­сти 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =m . По лемме число

a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 m пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1= левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка \overbrace в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка \ldots пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета минус альфа двоек пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 \qquad левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

дает оста­ток 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета пра­вая круг­лая скоб­ка при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Будем ре­шать за­да­чу ин­дук­ци­ей по n. Если n мень­ше или равно бета плюс 1, то нам по­дой­дет k=m, по­сколь­ку a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 m пра­вая круг­лая скоб­ка и b в квад­ра­те дают рав­ные остат­ки при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка бета пра­вая круг­лая скоб­ка . Сде­ла­ем пе­ре­ход от n к n плюс 1. По ин­дук­ци­он­но­му пред­по­ло­же­нию при не­ко­то­ром k число a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k пра­вая круг­лая скоб­ка минус b в квад­ра­те де­лит­ся на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка . Если оно де­лит­ся и на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , то пе­ре­ход сде­лан. Иначе оно дает оста­ток 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Пусть r=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус бета пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1. Тогда по лемме b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 левая круг­лая скоб­ка r минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 дает оста­ток 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 r пра­вая круг­лая скоб­ка минус b в квад­ра­те дает оста­ток 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой раз­но­сти сте­пе­ней:

 a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k r пра­вая круг­лая скоб­ка минус b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 r пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k пра­вая круг­лая скоб­ка минус b в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k левая круг­лая скоб­ка r минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k левая круг­лая скоб­ка r минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка b в квад­ра­те плюс a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k левая круг­лая скоб­ка r минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 левая круг­лая скоб­ка r минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пер­вая скоб­ка дает оста­ток 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , вто­рая со­сто­ит из r не­чет­ных сла­га­е­мых и, зна­чит, нечётна. Стало быть, раз­ность a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k r пра­вая круг­лая скоб­ка минус b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 r пра­вая круг­лая скоб­ка дает оста­ток 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Но тогда

a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k r пра­вая круг­лая скоб­ка минус b в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 k r пра­вая круг­лая скоб­ка минус b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 r пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 r пра­вая круг­лая скоб­ка минус b в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка

де­лит­ся на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­сколь­ку вы­ра­же­ния в скоб­ках дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .