Даны два нечетных натуральных числа a и b. Докажите, что существует такое натуральное k, что хотя бы одно из чисел и делится на
(А. Голованов)
Будем решать обобщенную задачу. Дано натуральное число n и два нечетных натуральных числа a и b. Докажите, что существует такое натуральное k, что хотя бы одно из чисел и делится на
Воспользуемся следующим известным утверждением: пусть число дает остаток при делении на где Тогда дает остаток при делении на
Пусть делится на и не делится на а делится на и не делится на Очевидно, что при этом Тогда дает остаток при делении на а дает остаток при делении на Пусть положим для краткости По лемме число
дает остаток при делении на
Будем решать задачу индукцией по n. Если то нам подойдет поскольку и дают равные остатки при делении на Сделаем переход от n к По индукционному предположению при некотором k число делится на Если оно делится и на то переход сделан. Иначе оно дает остаток при делении на Пусть Тогда по лемме дает остаток при делении на Следовательно, дает остаток при делении на Воспользуемся формулой разности степеней:
Первая скобка дает остаток при делении на вторая состоит из r нечетных слагаемых и, значит, нечётна. Стало быть, разность дает остаток при делении на Но тогда
делится на поскольку выражения в скобках дают одинаковые остатки при делении на