РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1866 Добавить в вариант

На основании AD трапеции ABCD отмечена точка E. Известно, что $\angle CAD = \angle ADC = \angle ABE = \angle DBE.$ Докажите, что треугольник BCE  — равнобедренный.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим через $альфа$ угол CAD и равные ему углы. Пусть $C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — точка, симметричная точке C относительно прямой AD. Тогда $ACDC в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — ромб. В треугольнике $A D C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка :$

$180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =\angle A C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка D плюс 2 альфа =\angle A C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка D плюс \angle A B D,$

поэтому четырехугольник $A B D C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ вписанный. Тогда

$\angle A D C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =\angle A B C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = альфа =\angle A B E .$

Значит, прямая $B Q в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ проходит через точку E, и тогда $E минус$ середина отрезка $B C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Следовательно, $E C=E C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =B E .$

Санкт-Петербургская олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Четырехугольник: трапеция, Методы геометрии. Вспомогательная окружность

Спрятать решение · Помощь