Лемма: можно вы­брать точки A и B так, что все осталь­ные точки лежат в одной по­лу­плос­ко­сти от пря­мой AB.

До­ка­за­тель­ство леммы. Возьмём пря­мую, от­но­си­тель­но ко­то­рой во­об­ще все точки лежат в одной по­лу­плос­ко­сти. Будем па­рал­лель­но пе­ре­ме­щать её к точ­кам, пока одна из точек (назовём её A) не попадёт на пря­мую. Те­перь будем вра­щать эту пря­мую во­круг точки A до тех пор, пока на неё не попадёт ещё одна точка на­бо­ра, ко­то­рую назовём B.

Для тех, кто зна­ком с по­ня­ти­ем вы­пук­лой обо­лоч­ки мно­же­ства точек, за­ме­тим, что в ка­че­стве A и B по­дой­дут любые две со­сед­ние вер­ши­ны вы­пук­лой обо­лоч­ки.

Итак, пусть такие точки A и B вы­бра­ны. Для всех осталь­ных точек X углы AXB раз­лич­ны, ведь если для точек X и Y они равны, то точки A, B, X, Y лежат на одной окруж­но­сти. Упо­ря­до­чим точки (кроме A и B) по уве­ли­че­нию этого угла. Пусть M  — сред­няя из этих точек. Тогда окруж­ность, со­дер­жа­щая точки A, B, M  — ис­ко­мая.