РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1885 Добавить в вариант

На стороне AD выпуклого четырехугольника ABCD с острым углом B отмечена точка E. Известно, что

$\angle CAD = \angle ADC = \angle ABE = \angle DBE.$

Докажите, что $BE плюс CE меньше AD.$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим через $альфа$ угол CAD и равные ему углы. Пусть $C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — точка, симметричная точке C относительно прямой AD. Тогда $ACD C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — ромб. Напишем сумму углов треугольника $A D C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка :$

$180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =\angle A C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка D плюс 2 альфа =\angle A C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка D плюс \angle A B D .$

Отсюда заключаем, что четырехугольник $A B D C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ вписанный. Тогда

$\angle A D C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =\angle A B C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = альфа =\angle A B E .$

Значит, прямая $B C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ проходит через точку E. В силу симметрии $E C=E C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и тогда $B E плюс C E=$ $B C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ На хорду AD опирается острый вписанный угол ABD, величина которого равна $2 альфа ,$ а на хорду $B C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ угол $C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка D B,$ величина которого меньше $\angle C в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка D C=2 альфа .$ Следовательно, $B C меньше A D .$

Санкт-Петербургская олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Неравенства, оценки, минимаксные задачи

Спрятать решение · Помощь