Точка Ia — центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны BC в точке X, а точка A′ диаметрально противоположна точке A на описанной окружности этого треугольника. На отрезках IAX, BA′, CA′ выбраны точки Y , Z, T соответственно таким образом, что IAY = BZ = CT = r, где r — радиус вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки X, Y , Z, T лежат на одной окружности.
Докажем, что серединные перпендикуляры к отрезкам YZ, YT и YX пересекаются в одной точке центре искомой окружности.
Из условия сразу следует, что 
Кроме этого, если I — центр вписанной окружности, то 
Из этих равенств сразу следует, что 
Поскольку прямая 
—
и поэтому
Таким образом, 
и 
Это значит, что четырехугольник 
—
совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку 
Последний по лемме о трезубце проходит через середину W дуги 
описанной окружности треугольника. Аналогично, через W проходит и серединный перпендикуляр к отрезку 
Осталось понять, почему через W проходит серединный перпендикуляр к отрезку 
Отметим на продолжении отрезка 
за точку X такую точку 
для которой 
Иными словами, 
—
Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре 
совпадающем с серединным перпендикуляром к отрезку XY.