сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Том и Джер­ри бе­га­ют друг за дру­гом по трас­се в виде восьмёрки (см. рис.). Они бегут в одном на­прав­ле­нии и с по­сто­ян­ны­ми ско­ро­стя­ми. В на­чаль­ный мо­мент Джер­ри был точно над Томом. Через 20 минут Том ока­зал­ся точно над Джер­ри, причём ни один из них не успел про­бе­жать трас­су пол­но­стью. В мо­мент, когда Джер­ри про­бе­жал ровно один круг с на­ча­ла пути, Том на­ко­нец до­гнал его. Сколь­ко вре­ме­ни Том гнал­ся за Джер­ри?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пока Джер­ри про­бе­га­ет малую петлю, Том про­бе­га­ет боль­шую; пока Джер­ри про­бе­га­ет боль­шую петлю, Том про­бе­га­ет боль­шую и малую вме­сте. Обо­зна­чим длины боль­шой и малой пе­тель бук­ва­ми L и l со­от­вет­ствен­но. Тогда по­лу­чим, что L: l= левая круг­лая скоб­ка L плюс l пра­вая круг­лая скоб­ка : L. Если обо­зна­чить L: l через x, то по­лу­чим: x=1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби , от­ку­да x в квад­ра­те =x плюс 1. Решая квад­рат­ное урав­не­ние (и учи­ты­вая, что x боль­ше 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем, что от­но­ше­ние длин пе­тель равно зо­ло­то­му се­че­нию, то есть числу \tau= дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Мы знаем, что за 20 минут Джер­ри про­бе­жал малую петлю. Зна­чит, боль­шую петлю он про­бе­жал за 20 \tau=10 плюс 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минут, а весь круг  — за 20 плюс левая круг­лая скоб­ка 10 плюс 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минут. Тут-то Том его и до­гнал.

 

Ответ: 30 плюс 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минут.