На продолжении стороны BC треугольник ABC взята точка D так, что прямая AD — касательная к описанной окружности 
треугольника ABC. Прямая AC пересекает описанную окружность треугольника ABD в точке E, причем AC : CE = 1 : 2. Оказалось, что биссектриса угла ADE касается окружности 
Найдите углы треугольника ABC.
Пусть M — середина стороны AC, K и L — точки переcеения биссектрисы угла ADE с AE и ω соответственно. Угол между касательной AD к окружности ω и хордой AC равен вписанному углу, который опирается на AC, откуда 
Кроме того, вписанные углы ABD и AED опираются на хорду AD и потому равны. Тогда 
то есть треугольник ADE — равнобедренный. Поэтому биссектриса DK треугольника ADE является также его медианой и высотой. В частности, отрезок DK перпендикулярен основанию AE, откуда отрезок OL параллелен основанию AE. Тогда
откуда
Значит, 
и равнобедренный треугольник ADL оказывается равно сторонним. Поэтому
то есть BD — биссектриса угла ABL. Таким образом, C является серединой дуги AL, откуда DB — биссектриса угла ADL. Значит, 
Тогда 
а оставшийся угол в треугольнике равен 
Ответ: 30°, 60°, 90°.
Приведем другое решение. Пусть 
r — радиус ω, K и L — точки пересечения биссектрисы угла ADE с AE и ω соответственно. Угол между касательной AD к окружности ω и хордой AC равен вписанному углу, который опирается на AC, откуда Кроме того, вписанные углы ABD и AED опираются на хорду AD и потому равны. Тогда то есть треугольник ADE — равнобедренный. Поэтому биссектриса DK треугольника ADE является также его медианой и высотой. В частности, отрезок DK перпендикулярен основаниюAE, откуда отрезок OL параллелен основанию AE. Тогда
откуда 
Заметим, что
поскольку четырехугольник DAOL вписанный. Поэтому 
Kроме того,
откуда
Поэтому 
и
