сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Три ко­ну­са с вер­ши­ной A и об­ра­зу­ю­щей 6 ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом. У двух ко­ну­сов угол между об­ра­зу­ю­щей и осью сим­мет­рии равен  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,   а у тре­тье­го он равен  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды O1O2O3A, где O1, O2, O3  — цен­тры ос­но­ва­ний ко­ну­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть  альфа = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,  бета = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и  l=6, где B  — се­ре­ди­на от­рез­ка O1O2, AD  — общая об­ра­зу­ю­щая вто­ро­го и тре­тье­го ко­ну­сов. Тогда

 A O_1=A O_2=l ко­си­нус альфа ,

A O_3=l ко­си­нус бета =l дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Че­ты­рех­уголь­ник A2O3 впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром AD, от­ку­да по тео­ре­ме си­ну­сов

 O_1 O_3=O_2 O_3=A D умно­жить на синус \angle O_2 A O_3=l синус левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ан ало­гич­ным об­ра­зом  O_1 O_2=l синус 2 альфа и

B O_2=l синус альфа ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: l, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2 альфа =l дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BC на пря­мую AO3. За­ме­тим, что от­рез­ки AB и O3B пер­пен­ди­ку­ляр­ны O1O2 как ме­ди­а­ны рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков O1O2A и O1O2O3. Тогда от­ре­зок O1O2 пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ABO3 и, зна­чит, пря­мой AO3. По­это­му ребро A3 пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти O1O2C и, в част­но­сти, от­рез­ку CO2. По­это­му

 C O_2=A O_2 умно­жить на синус \angle O_2 A C=l ко­си­нус альфа синус левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра мы по­лу­ча­ем

B C= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: C O_2 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус B O_2 в квад­ра­те =l ко­си­нус альфа ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =l ко­си­нус альфа ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2 альфа минус ко­си­нус 2 левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та =
=l ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та =l ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на ко­си­нус в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =l ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: l ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пусть V  — объем пи­ра­ми­ды O1O2O3A и AH  — ее вы­со­та. Тогда

 V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на O_1 O_2 умно­жить на B O_3 умно­жить на A H= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на O_1 O_2 умно­жить на S_A B O_3= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на B O_2 умно­жить на A O_3 умно­жить на B C=
= дробь: чис­ли­тель: l в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: l в кубе , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 конец ар­гу­мен­та =9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 конец ар­гу­мен­та .


Аналоги к заданию № 1899: 1908 Все