сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Три оди­на­ко­вых ко­ну­са с вер­ши­ной A ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом. Каж­дый из них ка­са­ет­ся внут­рен­ним об­ра­зом чет­вер­то­го ко­ну­са с вер­ши­ной в точке A и углом при вер­ши­не  дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .   Най­ди­те угол при вер­ши­не у оди­на­ко­вых ко­ну­сов. Углом при вер­ши­не ко­ну­са на­зы­ва­ет­ся угол между его об­ра­зу­ю­щи­ми в осе­вом се­че­нии.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим ис­ко­мый угол через 2α. Впи­шем в рав­ные ко­ну­сы шары с цен­тра­ми O1, O2, O3 од­но­го ра­ди­у­са r. Они, оче­вид­но, ка­са­ют­ся друг друга. Пусть чет­вер­тый конус ка­са­ет­ся этих шаров в точ­ках B, C, D. Тогда A B=A C=A D и, зна­чит, эти точки лежат на не­ко­то­ром шаре с цен­тром O ра­ди­у­са R, впи­сан­ном в чет­вер­тый конус. Этот шар ка­са­ет­ся шаров, впи­сан­ных в оди­на­ко­вые ко­ну­сы (так как, на­при­мер, шары с цен­тра­ми в O и O1 ка­са­ют­ся в точке B плос­ко­сти, со­дер­жа­щей об­ра­зу­ю­щую AB и ка­са­ю­щей­ся чет­вер­то­го ко­ну­са). По­это­му точки O1, O2, O3 лежат на от­рез­ках OB, OC, OD со­от­вет­ствен­но. Тогда

O O_1=O O_2=O O_3=R минус r.

Kроме того, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABO1, ACO2 и ADO3 равны по двум ка­те­там, от­ку­да A O_1=A O_2=A O_3. Зна­чит, пря­мая AO про­хо­дит через центр H опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка O1O2O3 пер­пен­ди­ку­ляр­но к его плос­ко­сти. За­ме­тим, что этот тре­уголь­ник пра­виль­ный и O_1 O_2=2 r, от­ку­да O_1 H= дробь: чис­ли­тель: 2 r, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . С дру­гой сто­ро­ны,

 O_1 H=O O_1 умно­жить на ко­си­нус \angle O O_1 H= левая круг­лая скоб­ка R минус r пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка R минус r пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­сколь­ку

R=A B умно­жить на тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =r \ctg альфа тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =r ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та \ctg альфа ,

мы по­лу­ча­ем

 дробь: чис­ли­тель: 2 r, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та \ctg альфа минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \Rightarrow ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та \ctg альфа = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 1 \Rightarrow 2 альфа =2 \arcctg дробь: чис­ли­тель: 4 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: 2 \arcctg дробь: чис­ли­тель: 4 плюс ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .