РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1923 Добавить в вариант

На 2016 карточках написали числа от 1 до 2016 (каждое по одному разу). Затем взяли k карточек. При каком наименьшем k среди них найдутся две карточки с числами, разность корней из которых меньше 1?

Спрятать решение

Решение.

Покажем, что $k=45$ подходит. Разобьем числа от 1 до 2016 на 44 группы:

$левая круглая скобка 1, 2, 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 4, 5, 6, 7, 8 правая круглая скобка , левая круглая скобка 9, 10, \ldots, 15 правая круглая скобка , \ldots, левая круглая скобка k в квадрате , k в квадрате плюс$
$плюс 1, \ldots, k в квадрате плюс 2 k правая круглая скобка , \ldots, левая круглая скобка 1936, 1937, \ldots, 2016 правая круглая скобка .$

Поскольку чисел 45, какие-то два из них (назовем их a и b) окажутся в одной группе. Пусть для определенности $a меньше b.$ Тогда

$k в квадрате меньше или равно a меньше b меньше левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате$

и, следовательно,

$корень из: начало аргумента: b конец аргумента минус корень из: начало аргумента: a конец аргумента меньше левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка минус k=1 .$

Предъявим теперь 44 числа, все разности между корнями из которых не меньше 1: 1², 2², 3², 4², ..., 44².

Ответ: 45.

Аналоги к заданию № 1923: 1953 Все

Олимпиада СПБГУ, 8, 9, 6, 7 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Числовые наборы на карточках и досках

Спрятать решение · Помощь