Обо­зна­чив две ука­зан­ные опе­ра­ции через D и T, то есть: D: n → 2n + 1, T : n → 3n + 2. Легко ви­деть, что опе­ра­ции пе­ре­ста­но­воч­ны D(T(n)) = T(D(n)) , зна­чит, и мно­го­крат­но пе­ре­ста­но­воч­ны D^m(T^k(n)) = T^k(D^m(n)). До­ка­жем, что верно и об­рат­ное утвер­жде­ние, ко­то­рое мы сфор­му­ли­ру­ем в виде сле­ду­ю­щей, клю­че­вой в ре­ше­нии за­да­чи, леммы:

Лемма. Если D^m(b) = T^k(c), то найдётся такое d, что b = T^k(d) и c = D^m(d).

До­ка­за­тель­ство леммы. Пре­жде всего за­ме­тим, что лемма оче­вид­на для m = 1. В самом деле, про­це­ду­ра T не ме­ня­ет чётность числа, по­это­му c = 2d + 1. Это число d и нужно взять: D(T^k(d)) = T^k(c) = D(b), от­ку­да b = T^k(d). Далее будем вести ин­дук­цию по m. Пусть D^m+1(b) = T^k(c). Тогда снова c = 2d + 1 и D^m(b) = T^k(d). По пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции найдётся такое число e, что b = T^k(e) и d = D^m(e). Тогда D^m+1(e) = c и b = T^k(e), что и тре­бо­ва­лось.

Далее мы вос­поль­зу­ем­ся фак­том, что опе­ра­ции D и T об­ра­ти­мы, то есть: если D(a) = D(b), то a = b; если T(a) = T(b), то a = b. Пусть число s сов­ме­сти­мо с чис­лом 2018. Тогда в силу ука­зан­ных свойств опе­ра­ций (пе­ре­ста­но­воч­ность и об­ра­ти­мость) можно счи­тать, что одно и тоже число по­лу­ча­ет­ся при­ме­не­ни­ем к s не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ство опе­ра­ций од­но­го типа и при­ме­не­ни­ем к 2018 не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства опе­ра­ций дру­го­го типа. Вос­поль­зу­ем­ся лем­мой. По­сколь­ку 2018 можно по­лу­чить толь­ко с по­мо­щью опе­ра­ции T, по­лу­ча­ем: найдётся такое d, что 2018 = T^k(d) и s = D^m(d). Но из пер­во­го ра­вен­ства сразу вы­те­ка­ет, что k = 1 и d = 672. Но уже дву­крат­ное при­ме­не­ние к числу 672 опе­ра­ции D вы­во­дит это число за гра­ни­цы от­рез­ка [1; 2017]. Зна­чит, m = 1 и s = 1345.

Ответ: 672, 1345.