Дан параллелограмм ABCD. Окружность касается стороны AC треугольника ABC, а также продолжения сторон BA и BC в точках P и S соответственно. Отрезок PS пересекает стороны DA и DC в точках Q и R. Докажите, что вписанная окружность треугольника CDA касается сторон AD и DC в точках Q и R.
Докажем, что вписанная окружность треугольника ADC касается стороны AD в точке Q. Поскольку BP и BS — paвные отрезки касательных, треугольник BPS равнобедренный, а, значит, равнобедренным является и треугольник APQ, отсекаемый от него прямой AQ, параллельной BS. Следовательно, 
Снова пользуясь равенством отрезков касательных, получим, что
Стало быть,
Откуда по свойству точек касания заключаем, что Q — точка касания вписанной окружности треугольника ADC.