РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1944 Добавить в вариант

При каких натуральных n число

$дробь: числитель: 1! умножить на 2! умножить на \dots умножить на левая круглая скобка 2n правая круглая скобка !, знаменатель: левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ! конец дроби$

является точным квадратом? Как обычно, n! обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n. Например, $4! = 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4.$

Спрятать решение

Решение.

Достаточно понять, при каких n число

$A= левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ! умножить на 1 ! умножить на 2 ! умножить на 3 ! умножить на \ldots умножить на левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка !$

является точным квадратом. Заметим, что

$левая круглая скобка 2 k минус 1 правая круглая скобка ! левая круглая скобка 2 k правая круглая скобка !=2 k умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка 2 k минус 1 правая круглая скобка ! правая круглая скобка в квадрате .$

Поэтому

$A= левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ! умножить на 2 умножить на 4 умножить на 6 умножить на \ldots умножить на левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 ! умножить на 3 ! умножить на 5 ! умножить на \ldots умножить на левая круглая скобка 2 n минус 1 правая круглая скобка ! правая круглая скобка в квадрате .$

Следовательно, число A является точным квадратом если и только, если число

$левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ! умножить на 2 умножить на 4 умножить на 6 умножить на \ldots умножить на левая круглая скобка 2 n правая круглая скобка = левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ! умножить на 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка умножить на n != левая круглая скобка n ! правая круглая скобка в квадрате умножить на 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$

является точным квадратом. Это равносильно тому, что число $B=2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$   — точный квадрат. Если n  — четно, то B является точным квадратом тогда и только тогда, когда $n плюс 1$   — квадрат нечетного числа. Таким образом, $n плюс 1= левая круглая скобка 2 k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате$ и, значит, $n=4 k в квадрате плюс 4 k$ для некоторого натурального k. Если же n  — нечетно, то B является точным квадратом тогда и только тогда, когда $2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка$   — квадрат четного числа. Стало быть, $2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 k правая круглая скобка в квадрате$ и, значит, $n=2 k в квадрате минус 1$ для некоторого натурального k.

Ответ: для чисел вида $n=4 k левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка$ и $n=2 k в квадрате минус 1.$

Олимпиада СПБГУ, 8, 9, 6, 7 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. Произведения и факториалы, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Помощь