Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Квадратные трехчлены f(x) и g(x) таковы, что [f(x)] = [g(x)] при всех x. Докажите, что f(x) = g(x) при всех x. (Здесь [a] означает целую часть a, то есть наибольшее целое число, не превосходящее a.)
Решение.
Пусть
Из равенства 
следует, что 
Но квадратный трехчлен принимает сколь угодно большие по модулю значения. Следовательно, 
С другой стороны, при 
значение 
в точке 
равно двум, поэтому и 
Стало быть, 
Пусть 
Можно считать, что 
(иначе поменяем местами трехчлены f и g). Рассмотрим такое целое число n, которое является значением многочлена 
в некоторой точке. Обозначим эту точку через x0. Тогда
и, значит, 
?
Олимпиада СПБГУ, 8, 9, 6, 7 класс, 2 тур (заключительный), 2016 годКлассификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...)