РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1951 Добавить в вариант

Натуральные числа a и b таковы, что $a в кубе плюс b в кубе плюс ab$ делится на $ab левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка .$ Докажите, что НОК (a, b) является точным квадратом. (НОК  — наименьшее общее кратное).

Спрятать решение

Решение.

Пусть d  — наибольший общий делитель чисел a и b. Положим $a=d a_1$ и $b=d b_1.$ Тогда числа a₁ и b₁ взаимно просты,

$НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =d a_1 b_1,$

а делимость $a в кубе плюс b в кубе плюс a b$ на $a b левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка$ влечет делимость числа

$n=d a_1 в кубе плюс d b_1 в кубе плюс a_1 b_1$

на $d a_1 b_1 левая круглая скобка a_1 минус b_1 правая круглая скобка$ и, в частности, делимость на d. Следовательно, a₁b₁ делится на d. Заметим, что n делится на a₁ и, значит, $db_1 в кубе$ делится на a₁. Но поскольку числа a₁ и b₁ взаимно просты, d делится на a₁. Аналогично проверяется, что d делится на b₁. Снова используя взаимную простоту чисел a₁ и b₁, получаем, что d делится на a₁b₁. Таким образом, $d=a_1 b_1.$ Стало быть,

$НОК левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =d a_1 b_1=d в квадрате .$

Олимпиада СПБГУ, 8, 9, 6, 7 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: числа. НОД и НОК

Спрятать решение · Помощь