РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 196 Добавить в вариант

Сколько существует натуральных чисел n не превосходящих 2017, таких что квадратный трёхчлен $x в квадрате плюс x минус n$ раскладывается на линейные множители с целочисленными коэффициентами?

Спрятать решение

Решение.

По условию задачи $x в квадрате плюс x минус n= левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка$ Следовательно, ab = −n, то числа a и b разных знаков и не равны нулю. Без ограничения общности будем считать, что $a больше или равно 0.$ Поскольку $a плюс b= минус 1 равносильно b= минус 1 минус a,$ то

$ab= минус n=a левая круглая скобка минус 1 минус a правая круглая скобка равносильно a в квадрате плюс a=n меньше или равно 2017 равносильно a меньше или равно 44.$

Таким образом, получаем 44 пары чисел a и b, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: 44.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Полное решение.	+	10
Все логические шаги решения приведены, в том числе оценка для одного из корней и связь между корнями квадратного трехчлена. Ответ неверный.	±	7
Верно дана оценка для одного из корней квадратного трехчлена. Ответ неверный или отсутствует.	+/2	5
Показана связь между n и корнями квадратного трехчлена. Приведены неверные оценки для одного из корней и/или количества чисел n, удовлетворяющих условию задачи.	∓	2
Решение не соответствует ни одному критерию, описанному выше.	−/0	0
Максимальный балл		10

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь