сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Все углы вы­пук­ло­го вось­ми­уголь­ни­ка равны, а все сто­ро­ны имеют ра­ци­о­наль­ную длину. До­ка­жи­те, что у него есть центр сим­мет­рии.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим вось­ми­уголь­ник ABCDEFGH. Про­длим его сто­ро­ны, взя­тые через одну, до пе­ре­се­че­ния (см. чертёж), тогда об­ра­зо­ван­ный ими четырёхуголь­ник PQRS  — пря­мо­уголь­ник. Дей­стви­тель­но, два внеш­них угла тре­уголь­ни­ка HAP со­став­ля­ют по 135°, зна­чит, два внут­рен­них  — по 45°, по­это­му тре­тий  — пря­мой; то же и для углов Q, R, S.

До­ка­жем, что про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны вось­ми­уголь­ни­ка (на­при­мер, AB и EF) равны. Дей­стви­тель­но, пусть это не так, тогда их раз­ность равна раз­но­сти сумм про­ек­ций четырёх дру­гих сто­рон на их на­прав­ле­ние:

A B минус E F= левая круг­лая скоб­ка P Q минус P A минус Q B пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка R S минус R E минус S F пра­вая круг­лая скоб­ка =
=R E плюс S F минус P A минус Q B= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка D E плюс F G минус H A минус B C пра­вая круг­лая скоб­ка .

Но AB минус EF  — ра­ци­о­наль­ное и не­ну­ле­вое число, зна­чит, ве­ли­чи­на D E плюс F G минус H A минус B C ир­ра­ци­о­наль­на, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Так же до­ка­зы­ва­ет­ся, что B C=F G, D E=H A. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки HAP и DER равны (рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки с рав­ны­ми ги­по­те­ну­за­ми), по­это­му при сим­мет­рии от­но­си­тель­но цен­тра PQRS от­рез­ки DE и HA сов­ме­стят­ся. Также сов­ме­стят­ся от­рез­ки BC и FG. Зна­чит, вось­ми­уголь­ник цен­траль­но сим­мет­ри­чен, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 1931.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За идею «впи­сы­ва­ния в пря­мо­уголь­ник»  — 1 балл.