сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 2

Две окруж­но­сти, впи­сан­ные в угол с вер­ши­ной R, пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Через A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая мень­шую окруж­ность в точке C, а боль­шую  — в точке D. Ока­за­лось, что AB  =  AC  =  AD.

2.4 Пусть \angle R = 135 гра­ду­сов . Пер­пен­ди­ку­ляр из A на бли­жай­шую сто­ро­ну угла пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке P, а пер­пен­ди­ку­ляр из A на вто­рую сто­ро­ну пе­ре­се­ка­ет BP в точке Q. На­ко­нец, пусть O1 и O 2  — цен­тры ис­ход­ных окруж­но­стей, O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около \bigtriangleup ABQ. До­ка­жи­те, что BO  — бис­сек­три­са угла O1BO2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­пол­ним ту же самую ин­вер­сию, что и в преды­ду­щем пунк­те, вновь по­лу­чим пря­мой угол и впи­сан­ную в него пару окруж­но­стей, пе­ре­се­ка­ю­щих­ся под углом 135°. Пер­пен­ди­ку­ляр AP пе­рейдёт в диа­метр, боль­шей из окруж­но­стей, а сама точка i(P) его пе­ре­се­че­ние со сто­ро­ной угла. Пер­пен­ди­ку­ляр на вто­рую сто­ро­ну пе­рей­дет в диа­метр мень­шей из окруж­но­стей.

Те­перь че­ты­рех­уголь­ник A i левая круг­лая скоб­ка P пра­вая круг­лая скоб­ка B U  — впи­сан­ный, где U  — центр мень­шей из (новых) впи­сан­ных окруж­но­стей : \angle i левая круг­лая скоб­ка P пра­вая круг­лая скоб­ка B U=45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка (по­ло­ви­на пря­мо­го угла, в ко­то­рый впи­са­ны окруж­но­сти), а \angle i левая круг­лая скоб­ка P пра­вая круг­лая скоб­ка A U=135 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , так как это угол между окруж­но­стя­ми рав­ный углу, между ис­ход­ны­ми пря­мы­ми. С дру­гой сто­ро­ны, по по­стро­е­нию пе­ре­се­че­ние окруж­но­сти A i левая круг­лая скоб­ка P пра­вая круг­лая скоб­ка B с пря­мой AU это как раз i(Q). Зна­чит, i(Q) лежит на бис­сек­три­се угла, то есть (сде­ла­ем ин­вер­сию), окруж­ность BQA об­ра­зу­ет рав­ные углы с двумя ис­ход­ны­ми окруж­но­стя­ми, а это имен­но то, что про­сят уста­но­вить в за­да­че (ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти в точку пе­ре­се­че­ния - бис­сек­три­са пер­вых двух ра­ди­у­сов).

1

2.1 Пусть C и D сов­па­ли с точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­стей и угла. До­ка­жи­те, что угол R пря­мой.