сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 3.

В этом сю­же­те раз­ре­ша­ет­ся ис­поль­зо­вать (без обос­но­ва­ния) так на­зы­ва­е­мую малую тео­ре­му Ферма, гла­ся­щую, что для вся­ко­го це­ло­го числа а и про­сто­го на­ту­раль­но­го числа p спра­вед­ли­во со­от­но­ше­ние «aa p де­лит­ся на p без остат­ка».

Итак, p боль­ше 2  — про­стое число. Маша долж­на по­нять, есть ли среди чисел

 a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  \quad a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те , \quad \ldots, \quad a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

зна­че­ния, да­ю­щие оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на p.

3.1 Пусть a  =  4, b  =  9. До­ка­жи­те, что ис­ко­мая пара найдётся.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По МТФ 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 2, но в то же время и

4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv 2.

1

3.2 Пусть a  =  4, b  =  3. До­ка­жи­те, что найдётся ис­ко­мая пара, со­дер­жа­щая одно из край­них чисел.