сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сюжет 2

Две окруж­но­сти, впи­сан­ные в угол с вер­ши­ной R, пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Через A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая мень­шую окруж­ность в точке C, а боль­шую  — в точке D. Ока­за­лось, что AB  =  AC  =  AD.

2.3 До­ка­жи­те, что если \angle R пря­мой, то C и D сов­па­да­ют с точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­стей и угла.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним ин­вер­сию i от­но­си­тель­но цен­тра окруж­но­сти с цен­тром в A и ра­ди­у­сом AB. Имеем i левая круг­лая скоб­ка B пра­вая круг­лая скоб­ка =B, i левая круг­лая скоб­ка C пра­вая круг­лая скоб­ка =C, i левая круг­лая скоб­ка D пра­вая круг­лая скоб­ка =D и наши две окруж­но­сти пре­вра­ща­ют­ся в пря­мые BC, BD, об­ра­зу­ю­щие пря­мой угол, а сто­ро­ны ис­ход­но­го угла  — в пару окруж­но­стей, впи­сан­ных в этот угол, пер­пен­ди­ку­ляр­ных друг другу (как и со­от­вет­ству­ю­щие пря­мые до ин­вер­сии) и пе­ре­се­ка­ю­щих­ся в точ­ках A, i(R). Вы­чис­лим от­но­ше­ние их ра­ди­у­сов  — это легко де­ла­ет­ся при­ме­не­ни­ем тео­ре­мы Пи­фа­го­ра к тре­уголь­ни­ку AO1O2 со сто­ро­на­ми r1, r2,  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка r_2 минус r_1 пра­вая круг­лая скоб­ка (O1, O2  — цен­тры новых окруж­но­стей, r_1 мень­ше r_2  — ра­ди­у­сы). По­лу­ча­ет­ся  дробь: чис­ли­тель: r_2, зна­ме­на­тель: r_1 конец дроби =2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , будем счи­тать r_1=1, r_2=2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Введём свя­зан­ную с нашим пря­мым углом си­сте­му ко­ор­ди­нат, тогда цен­тры имеют ко­ор­ди­на­ты (1, 1) и  левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка а точки ка­са­ния:

 X_1= левая круг­лая скоб­ка 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  \quad X_2= левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  \quad Y_1= левая круг­лая скоб­ка 0; 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка ,  \quad Y_2= левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Се­ре­ди­на X_1 Y_1  — это  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 1 плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и счи­тая рас­сто­я­ние от неё до O1, O2 убеж­да­ем­ся, что это точка пе­ре­се­че­ния наших окруж­но­стей, как и се­ре­ди­на X_2 Y_2 . Зна­чит, эти се­ре­ди­ны  — точки A, i(R). По­сколь­ку A не лежит на бис­сек­три­се угла, то пря­мая, из ко­то­рой наш угол вы­се­ка­ет от­ре­зок с се­ре­ди­ной A  — един­ствен­на, так что со­от­вет­ству­ю­щая пара точек X, Yi сов­па­да­ет с парой C, D.

 

При­ведём дру­гой спо­соб (без ин­вер­сии).

Из усло­вия легко сле­ду­ет, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­ны: от­рез­ки AC и AD сим­мет­рич­ны AB от­но­си­тель­но со­от­вет­ству­ю­щих ра­ди­у­сов, а C, A, D лежат на одной пря­мой.

Кроме того, из этой сим­мет­рич­но­сти ясно, что такие точки C и D един­ствен­ны. Зна­чит, если по­ка­жем, что точки ка­са­ния под­хо­дят на их роль, мы по­бе­дим. Пусть ра­ди­ус ма­лень­кой окруж­но­сти равен 1, боль­шой  — R. Тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра для \triangle O_1 O_2 A

 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка R минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1 в квад­ра­те плюс R в квад­ра­те ,

у этого урав­не­ния ровно одно ре­ше­ние, где R боль­ше 1:  R=2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Пусть C′, D′ — точки ка­са­ния пер­вой и вто­рой окруж­но­стей раз­ных сто­рон угла. Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат па­рал­лель­но сто­ро­нам угла, тогда  C в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Пусть A′ — се­ре­ди­на этого от­рез­ка, тогда не очень труд­но про­ве­рить, что она лежит на обеих

 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =1,

 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 3 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =7 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

То есть можно счи­тать A в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка =A. Оста­лось убе­дить­ся, что

A B= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби C в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка =A C в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка =A D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби C в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка D в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс 1 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка

(по­след­нее ра­вен­ство можно про­ве­рить, воз­ве­дя в квад­рат). По сим­мет­рии точка B имеет ко­ор­ди­на­ты  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­чит,

 A B= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ура!

1

2.1 Пусть C и D сов­па­ли с точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­стей и угла. До­ка­жи­те, что угол R пря­мой.