Вы­пол­ним ин­вер­сию i от­но­си­тель­но цен­тра окруж­но­сти с цен­тром в A и ра­ди­у­сом AB. Имеем и наши две окруж­но­сти пре­вра­ща­ют­ся в пря­мые BC, BD, об­ра­зу­ю­щие пря­мой угол, а сто­ро­ны ис­ход­но­го угла  — в пару окруж­но­стей, впи­сан­ных в этот угол, пер­пен­ди­ку­ляр­ных друг другу (как и со­от­вет­ству­ю­щие пря­мые до ин­вер­сии) и пе­ре­се­ка­ю­щих­ся в точ­ках A, i(R). Вы­чис­лим от­но­ше­ние их ра­ди­у­сов  — это легко де­ла­ет­ся при­ме­не­ни­ем тео­ре­мы Пи­фа­го­ра к тре­уголь­ни­ку AO₁O₂ со сто­ро­на­ми r₁, r₂, (O₁, O₂  — цен­тры новых окруж­но­стей,   — ра­ди­у­сы). По­лу­ча­ет­ся будем счи­тать

Введём свя­зан­ную с нашим пря­мым углом си­сте­му ко­ор­ди­нат, тогда цен­тры имеют ко­ор­ди­на­ты (1, 1) и а точки ка­са­ния:

Се­ре­ди­на   — это и счи­тая рас­сто­я­ние от неё до O₁, O₂ убеж­да­ем­ся, что это точка пе­ре­се­че­ния наших окруж­но­стей, как и се­ре­ди­на Зна­чит, эти се­ре­ди­ны  — точки A, i(R). По­сколь­ку A не лежит на бис­сек­три­се угла, то пря­мая, из ко­то­рой наш угол вы­се­ка­ет от­ре­зок с се­ре­ди­ной A  — един­ствен­на, так что со­от­вет­ству­ю­щая пара точек X, Y_i сов­па­да­ет с парой C, D.

При­ведём дру­гой спо­соб (без ин­вер­сии).

Из усло­вия легко сле­ду­ет, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­ны: от­рез­ки AC и AD сим­мет­рич­ны AB от­но­си­тель­но со­от­вет­ству­ю­щих ра­ди­у­сов, а C, A, D лежат на одной пря­мой.

Кроме того, из этой сим­мет­рич­но­сти ясно, что такие точки C и D един­ствен­ны. Зна­чит, если по­ка­жем, что точки ка­са­ния под­хо­дят на их роль, мы по­бе­дим. Пусть ра­ди­ус ма­лень­кой окруж­но­сти равен 1, боль­шой  — R. Тогда из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра для

у этого урав­не­ния ровно одно ре­ше­ние, где

Пусть C′, D′ — точки ка­са­ния пер­вой и вто­рой окруж­но­стей раз­ных сто­рон угла. Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат па­рал­лель­но сто­ро­нам угла, тогда Пусть A′ — се­ре­ди­на этого от­рез­ка, тогда не очень труд­но про­ве­рить, что она лежит на обеих

То есть можно счи­тать Оста­лось убе­дить­ся, что

Тогда

(по­след­нее ра­вен­ство можно про­ве­рить, воз­ве­дя в квад­рат). По сим­мет­рии точка B имеет ко­ор­ди­на­ты зна­чит,

Ура!