Сюжет 2
Две окружности, вписанные в угол с вершиной R, пересекаются в точках A и B. Через A проведена прямая, пересекающая меньшую окружность в точке C, а большую — в точке D. Оказалось, что AB = AC = AD.
2.4 Докажите, что если 
прямой, то C и D совпадают с точками касания окружностей и угла.
Так как 
то AC и AD должны быть симметричны AB относительно радиусов соответствующих окружностей. Из этой симметричности ясно, что такие точки C и D единственны. Значит, если мы покажем, что точки касания подходят на их роль, мы победим. Пусть радиус маленькой окружности равен 1, большой — R. Тогда из теоремы Пифагора для 
получим:
У этого уравнения ровно одно решение, где 
а именно 
Пусть C′, D′ — точки касания первой и второй окружностей разных сторон угла. Введём систему координат параллельно сторонам угла, тогда 
Пусть A′ — середина этого отрезка, тогда не очень трудно проверить, что она лежит на обеих
То есть можно считать 
Осталось убедиться, что
Тогда
(последнее равенство можно проверить, возведя в квадрат). По симметрии точка B имеет координаты 
значит,
Ура!
а сумма соответствующих углов между хордой и касательной 
