За­ме­тим, что если какая-то пе­ре­ста­нов­ка шаров (со­от­вет­ству­ю­щая по­сле­до­ва­тель­но­сти ко­манд) до­пус­ка­ет из­на­чаль­ный рас­клад, при ко­то­ром в ре­зуль­та­те этой пе­ре­ста­нов­ки все по­ме­ня­ли при­над­леж­ность, то в каж­дом цикле этой пе­ре­ста­нов­ки шары из пер­во­го и вто­ро­го со­су­да че­ре­ду­ют­ся, зна­чит, все циклы имеют чётную длину.

При дву­крат­ном при­ме­не­нии цик­ли­че­ской пе­ре­ста­нов­ки с чет­ной дли­ной цикла по­лу­ча­ет­ся пе­ре­ста­нов­ка, со­сто­я­щая из двух цик­лов по­ло­вин­ной длины. Так как 800 не де­лит­ся на 64, то длина од­но­го из цик­лов тоже не де­лит­ся на 64. Тогда, деля этот цикл на два не более пяти раз (т. е. по­вто­ряя не более раз ис­ход­ную по­сле­до­ва­тель­ность ко­манд) мы по­лу­чим цикл не­чет­ной длины  — в этот мо­мент га­ран­ти­ро­ван­но хотя бы один шар ока­жет­ся в род­ном со­су­де. Ясно, что мень­ше, чем 32 по­вто­ре­ни­я­ми от­де­лать­ся нель­зя. На­при­мер, если ис­ход­ная пе­ре­ста­нов­ка  — цикл длины 800, то его l  — крат­ное при­ме­не­ние даст кучу цик­лов длины   — это число при четно, так что такой набор цик­лов впол­не цик­лов длины   — это число при четно, так что такой набор цик­лов впол­не до­пус­ка­ет ис­ход­ный рас­клад, ко­то­рый под дей­стви­ем дан­ной пе­ре­ста­нов­ки пре­вра­тит­ся в свою про­ти­во­по­лож­ность.

Ответ: 32.