Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и 
Рассмотрим точку внутри треугольника, для которой
Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC = TB : TC.
1) Допустим, что прямая EF параллельна BC. Тогда по теореме Фалеса
Пусть D — точка пересечения прямых AT и BC, тогда
то есть TD — биссектриса в треугольнике TBC. Аналогично TE — биссектриса в треугольнике TCA, где TF — биссектриса в треугольнике TAB. Как известно, биссектриса делит сторону треугольника пропорционально двум другим сторонам, откуда
Значит, 
и треугольник TBC — равнобедренный (с основанием BC). Поэтому его биссектриса TD является также медианой и высотой. Значит, AD — медиана и высота треугольнкие ABC. т. е. 
—
2) По теореме Менелая для треугольника ABC и секущей EM,
По теореме Чевы,
Значит, 
По свойству биссектрисы, 
откуда 
----------
Дублирует задание 1965.