РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2079 Добавить в вариант

Даны вещественные числа x₁, ..., x_n. Найдите максимальное значение выражения.

$A= левая круглая скобка синус x_1 плюс \dots } плюс синус x_n правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка косинус x_1 плюс \dots { плюс косинус x_n правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что при любых a₁, ..., a_n справедливо

$левая круглая скобка \sum_k=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка a_k правая круглая скобка в квадрате меньше или равно n \sum_k=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка a_k в квадрате .$

Отсюда в силу неравенства Коши

$A меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка \sum_k=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка синус x_k правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка \sum_k=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка косинус x_k правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \sum_k=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка синус в квадрате x_k плюс \sum_k=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка косинус в квадрате x_k правая круглая скобка = дробь: числитель: n в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .$ $A меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка левая круглая скобка \sum_k=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка синус x_k правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка \sum_k=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка косинус x_k правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \sum_k=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка синус в квадрате x_k плюс \sum_k=1 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка косинус в квадрате x_k правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: n в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .$

Равенство реализуется при $x_1=\ldots=x_n= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: n в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .$

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Минимаксные задачи без производной

Спрятать решение · Помощь