Пусть a₁  — ко­ли­че­ство зо­ло­тых монет у пер­во­го пи­ра­та, a₂  — у вто­ро­го, и т. д. Так как a_i-a_j не де­лит­ся на 10 для любых i и j, то числа a₁, a₂, …,a₁₀ долж­ны да­вать раз­лич­ные остат­ки при де­ле­нии на 10. За­пи­шем a_i = 10k_i + l_i, где l_i  — оста­ток a_i при де­ле­нии на 10. Общее ко­ли­че­ство зо­ло­тых монет равно

Так как числа l₁, ..., l₁₀  — в точ­но­сти числа 0, 1, 2, ..., 9 (толь­ко не обя­за­тель­но в таком по­ряд­ке), то их сумма равна 45. Зна­чит, всего зо­ло­тых монет 10(k₁ + k₂ + ... + k₁₀) + 45. Пред­по­ло­жим, что пи­ра­ты могут раз­де­лить се­реб­ря­ные мо­не­ты таким же об­ра­зом. Как и рань­ше мы можем по­ка­зать, что общее ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет 10(m₁ + m₂ + ... + m₁₀) + 45 для не­ко­то­рых целых чисел m₁, m₂, ..., m₁₀. Но общее число се­реб­ря­ных монет четно, по­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.