сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

На столе стоят на ос­но­ва­ни­ях три ко­ну­са, ка­са­ясь друг друга. Ра­ди­у­сы их ос­но­ва­ний равны 1, 4 и 4, углы при вер­ши­не  — 4 арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  4 арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби и 4 арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби   со­от­вет­ствен­но (углом при вер­ши­не ко­ну­са на­зы­ва­ет­ся угол между его об­ра­зу­ю­щи­ми в осе­вом се­че­нии). На стол по­ло­жи­ли шар, ка­са­ю­щий­ся всех ко­ну­сов. Най­ди­те ра­ди­ус шара.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть O1, O2, O3  — цен­тры ос­но­ва­ний ко­ну­сов, O  — центр шара, R  — ра­ди­ус шара, C минус точка ка­са­ния шара со сто­лом, 2α и 2β — углы при вер­ши­не пер­во­го и вто­ро­го ко­ну­сов. На верх­нем ри­сун­ке по­ка­за­но се­че­ние пер­во­го ко­ну­са плос­ко­стью COO1, Ка­са­ние шара с пер­вым ко­ну­сом озна­ча­ет, что пер­пен­ди­ку­ляр OE, опу­щен­ный из точки O на об­ра­зу­ю­щую PB, равен R. Дей­стви­тель­но, в этом слу­чае шар и конус ка­са­ют­ся плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через об­ра­зу­ю­щую PB пер­пен­ди­ку­ляр­но се­че­нию, и лежат по раз­ные сто­ро­ны от нее. По­это­му шар ка­са­ет­ся пря­мых BC и BE в точ­ках C и E, от­ку­да  O C=O E=R,  B C=B E и

\angle B O C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle E O C= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пусть B и D  — точки пе­ре­се­че­ния от­рез­ков C1 и CO2 с ос­но­ва­ни­я­ми ко­ну­сов. Тогда

 B C=R умно­жить на тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =R умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби =R умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

C D=R умно­жить на тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =R умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби .

На ниж­нем ри­сун­ке по­ка­за­но се­че­ние ко­ну­сов плос­ко­стью стола. За­ме­тим, что A O_1=3 и

 левая круг­лая скоб­ка 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби R пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =C O_2 в квад­ра­те =A O_2 в квад­ра­те плюс A C в квад­ра­те =A O_2 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка A O_1 минус B O_1 минус B C пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =16 плюс левая круг­лая скоб­ка 2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби R пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 3 R в квад­ра­те минус 35 R плюс 50=0,

от­ку­да R= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби или R=10. Не­об­хо­ди­мо, чтобы шар ка­сал­ся об­ра­зу­ю­щих ко­ну­сов, а не их про­дол­же­ний за вер­ши­ну. Это озна­ча­ет, что R ко­си­нус альфа мень­ше или равно C O_1 и R ко­си­нус бета мень­ше или равно C O_2. Пер­вое усло­вие эк­ви­ва­лент­но

 R ко­си­нус альфа мень­ше или равно B O_1 плюс B C рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби R мень­ше или равно 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби R рав­но­силь­но R мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби

и ему удо­вле­тво­ря­ет толь­ко R= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Вто­рое усло­вие при­во­дит­ся к не­ра­вен­ству

 дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 101 конец дроби R мень­ше или равно 4 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби R,

ко­то­рое верно для R= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .