В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AC опушена высота BН. Точки X и Y — центры окружностей, вписанных в треугольники ABH и СВН соответственно. Прямая ХY пересекает катеты AB и BC в точках P и Q. Найдите площадь 
Прямые HX и HY — биссектрисы прямых углов AHB и BHC, откуда
и 
Отрезки HX и HY относятся как радиусы окружностей, вписанных в подобные треугольники AHB и BHC, поэтому
Значит, треугольники XHY и ABC подобны. Тогда
и четырехугольник AHXP будет вписанным. Следовательно, 
то есть треугольник BPQ равнобедренный. Заметим, что треугольники PBX и НBX равны. Действительно, сторона BX у них общая,
а углы PBX и HBX равны, поскольку BX — биссектриса угла PBH. Тогда 
и
Ответ: 
Приведем другое решение. Обозначим через I центр вписанной окружности треугольника ABC. Покажем, что I ортоцентр треугольника BXY. Пусть BD — биссектриса треугольника CBH, E — точка пересечения прямых AX и BY (см. рисунок). Тогда
Таким образом, в треугольниках DAE и DBH имеются две пары одинаковых углов. Поэтому равны и их третьи углы, то есть
Аналогично проверяется, что отрезок YI перпендикулярен отрезку BX. Значит, BI перпендикулярен PQ, поэтому луч BI будет одновременно биссектрисой и выcотой треугольника BPQ. Следовательно, треугольник BPQ равнобедренный, откуда 
Заметим далее, что треугольники BHY и BQY равны, поскольку у них есть общая сторона BY и две пары одинаковых углов: 
и
Поэтому 
и
