На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Радиусы их оснований равны 32, 48 и 48, углы при вершине — 
и 
соответственно (углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении). Над столом подвесили шар, касающийся всех конусов. Оказалось, что центр шара равноудален от центров оснований всех конусов. Найдите радиус шара.
Пусть O1, O2, O3 — центры оснований конусов, O — центр шара, C — его проекция на стол, R — радиус шара. Точка C тоже равноудалена от точек касания оснований конусов, поэтому она лежит на пересечения биссектрис треугольника O1O2O3 (см. верхний рисунок). Значит, C является центром вписанной окружности треугольника O1O2O3, а отрезок AC — радиус этой окружности. Заметим, что периметр треугольника O1O2O3 равен 256 и
откуда
Пусть B и D — точки пересечения отрезков CO1 и C2 с основаниями конусов. Тогда
и
Касание шара с первым конусом означает, что перпендикуляр из точки O на образующую конуса, лежащую в плоскости COO1, равен R (см. нижний рисунок). Действительно, в этом случае шар и конус касаются плоскости, проходящей через эту образующую перпендикулярно СОO1, и лежат по разные стороны от нее. Поэтому
При меняя эти рассуждения к другому конусу, мы получим
Необходимо также проверить, что шар касается образующих конусов, а не их продолжений за вершину. Это равносильно условиям
которые, очевидно, выполняются.
Ответ: 