РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2100 Добавить в вариант

В треугольнике ABC с углом $C = 60 градусов$ проведены биссектрисы AA₁ и BB₁. Докажите, что $AB_1 плюс BA_1=AB.$

Решение.

Обозначим через I точку пересечения биссектрис в треугольнике. Пусть $альфа =\angle B A A_1$ и $бета =\angle A B B_1.$ Тогда

$2 альфа плюс 2 бета плюс 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Следовательно, $бета =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа .$ Тогда

$\angle A A_1 C=\angle A B C плюс \angle A_1 A B=2 левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка плюс альфа =120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа =$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка \angle A B B_1 плюс \angle B A C правая круглая скобка =\angle B B_1 A .$ $\angle A A_1 C=\angle A B C плюс \angle A_1 A B=2 левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка плюс альфа =$
$=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка =$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка \angle A B B_1 плюс \angle B A C правая круглая скобка =\angle B B_1 A .$

Отметим на стороне AB такую точку K, что $A K=A B_1.$ Треугольники AB₁I и AKI равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$\angle A K I=\angle A B_1 I=\angle A A_1 C.$

Следовательно, треугольники BKI и BA₁I равны по двум углам и стороне. Стало быть, $B A_1=B K$ и, значит,

$A B=A K плюс B K=A B_1 плюс B A_1.$

Приведем другое решение. Пусть $альфа =\angle B A A_1$ и $бета =\angle A B B_1.$ Тогда

Следовательно, $бета =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа$ и

$\angle A A_1 B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A B C минус \angle A_1 A B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус 2 бета =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка минус альфа =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа .$ $\angle A A_1 B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A B C минус \angle A_1 A B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус 2 бета =$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка минус альфа =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа .$ $\angle A A_1 B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A B C минус \angle A_1 A B=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус 2 бета =$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка минус альфа =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа .$

Аналогично

$\angle B B_1 A=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс бета =120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа .$

По теореме синусов для треугольников BAA₁ и ABB₁ имеем:

$B A_1=A B умножить на дробь: числитель: синус альфа , знаменатель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка конец дроби$

$A B_1=A B умножить на дробь: числитель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка конец дроби =A B умножить на дробь: числитель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка конец дроби .$

Стало быть,

$A B_1 плюс B A_1 =A B умножить на дробь: числитель: синус альфа плюс синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка конец дроби =A B умножить на дробь: числитель: 2 синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка конец дроби =A B умножить на дробь: числитель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка конец дроби =A B.$ $A B_1 плюс B A_1 =A B умножить на дробь: числитель: синус альфа плюс синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка конец дроби =$
$=A B умножить на дробь: числитель: 2 синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка конец дроби =A B умножить на дробь: числитель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка конец дроби =A B.$ $A B_1 плюс B A_1 =A B умножить на дробь: числитель: синус альфа плюс синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка конец дроби =$
$=A B умножить на дробь: числитель: 2 синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка конец дроби =$
$=A B умножить на дробь: числитель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка , знаменатель: синус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс альфа правая круглая скобка конец дроби =A B.$

Олимпиада СПБГУ, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник с углом 60° или 120°, Методы геометрии. Теорема синусов

Спрятать решение · Помощь