Оцен­ка числа тре­уголь­ни­ков. За­ну­ме­ру­ем вер­ши­ны 18-ти уголь­ни­ка от 1 до 18 по ча­со­вой стрел­ке. Сто­ро­на­ми тре­уголь­ни­ков яв­ля­ют­ся сто­ро­ны и диа­го­на­ли пра­виль­но­го 18-ти уголь­ни­ка. Назовѐм диа­го­наль чётной, если между еѐ кон­ца­ми со­дер­жит­ся чѐтное число сто­рон, и нечётной  — в про­тив­ном слу­чае. Чётность диа­го­на­ли сов­па­да­ет с чётно­стью раз­но­сти но­ме­ров её кон­цов. Ввиду чётно­сти об­ще­го числа сто­рон мно­го­уголь­ни­ка всё равно, с какой сто­ро­ны от диа­го­на­ли счи­тать число сто­рон. Сто­ро­ны тоже счи­та­ем нечётными диа­го­на­ля­ми. Две диа­го­на­ли АВ и СD, где AC и BD не пе­ре­се­ка­ют­ся, па­рал­лель­ны тогда и толь­ко тогда, когда между A и C, B и D со­дер­жит­ся рав­ное число сто­рон, то есть по­ло­жи­тель­ная раз­ность но­ме­ров А и С равна по­ло­жи­тель­ной раз­но­сти но­ме­ров В и D. Не­слож­но за­ме­тить, что любая нечётная диа­го­наль па­рал­лель­на одной из де­вя­ти сто­рон 18-ти уголь­ни­ка, а любая чётная – одной из де­вя­ти диа­го­на­лей, от­се­ка­ю­щих от 18-ти уголь­ни­ка тре­уголь­ник (две сто­ро­ны ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми мно­го­уголь­ни­ка). Всего име­ет­ся 18 се­мейств диа­го­на­лей, любые две диа­го­на­ли од­но­го се­мей­ства па­рал­лель­ны, а любые две диа­го­на­ли раз­ных се­мейств  — не па­рал­лель­ны. Де­вять из этих се­мейств со­дер­жат чётные диа­го­на­ли и де­вять  — нечётные. В ка­че­стве пред­ста­ви­те­лей нечётных се­мейств можно взять сто­ро­ны с кон­ца­ми 12 23, …, 89, 9 10 и диа­го­на­ли 13, 24, …, 8 10, 9 11. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки с по­пар­но не­па­рал­лель­ны­ми сто­ро­на­ми, по­стро­ен­ные на вер­ши­нах пра­виль­но­го 18-уголь­ни­ка, не могут ис­поль­зо­вать боль­ше, чем по одной из каж­до­го се­мей­ства этих диа­го­на­лей, и общее число этих тре­уголь­ни­ков не пре­вос­хо­дит 18 : 3  =  6. Более того, про­из­воль­ный тре­уголь­ник, по­стро­ен­ный на трёх вер­ши­нах 18-ти уголь­ни­ка, может со­дер­жать либо три чётных диа­го­на­ли, либо одну чётную и две нечётных, так как сумма чётно­стей трёх его сто­рон равна чётно­сти числа 18. Сле­до­ва­тель­но, общее число нечётных сто­рон в любом мно­же­стве тре­уголь­ни­ков с по­пар­но не­па­рал­лель­ны­ми сто­ро­на­ми долж­но быть чётным, и мы не смо­жем ис­поль­зо­вать для их сто­рон все 18 се­мейств диа­го­на­лей. Таким об­ра­зом, число тре­уголь­ни­ков с по­пар­но не­па­рал­лель­ны­ми сто­ро­на­ми, по­стро­ен­ных на вер­ши­нах пра­виль­но­го 18-уголь­ни­ка, не пре­вос­хо­дит пяти.

При­мер. Пять тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми {1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {5, 6, 7}, {7, 8, 9}, {1, 5, 9}.

Ответ: 5.