Сюжет 3
По кругу стоит N фишек черного и белого цветов. За ход можно поменять цвета у любой пары одноцветных фишек, стоящих через одну (между ними может стоять фишка любого цвета), или у любой тройки подряд идущих фишек, таких что цвет первой из них (считая по часовой стрелке) отличаются от цвета двух других.
Пусть N = 2018. Докажите, что можно получить полностью белую расстановку.
Для данной расстановки рассмотрим получаемую из неё расстановку с наименьшим возможным количеством черных клеток. По предыдущему пункту, между любыми двумя черными не менее четырёх белых. Преобразовываем пятёрку ЧББББ: ЧББББ, БЧЧББ, БЧБЧЧ, ББББЧ. Таким образом, любую черную фишку можно сдвинуть на 4 позиции, и если черных фишек больше одной, добиться–таки того, чтобы расстояние между черными было меньше четырех, после чего уменьшим их количество — противоречие.
Если же черная фишка всего одна, например, на позиции 1 (пронумеруем позиции против часовой стрелки), применим первую операцию к позициям 2 и 4, после чего начнем сдвигать чёрную фишку на позиции 4 вправо на четыре позиции, как в прошлом абзаце, и пригоним её на позицию 2016. Теперь все чёрные фишки содержатся во фрагменте ЧББЧЧ, и мы его преобразуем: ЧББЧЧ,ЧБЧББ, БББББ.