За­пи­шем все числа от 1 до 100 слева на­пра­во по по­ряд­ку: 1, 2, 3, 4, ..., 99, 100, разобьём на 50 пар со­сед­них: 1 и 2, 3 и 4, …, 99 и 100, и в каж­дой паре числа по­ме­ня­ем ме­ста­ми: 2, 1, 4, 3, ..., 100, 99. До­ка­жем, что по­лу­чен­ная пе­ре­ста­нов­ка удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

а)  За­ме­тим, что в по­лу­чен­ной пе­ре­ста­нов­ке каж­дое число на нечётном месте на 1 боль­ше но­ме­ра сво­е­го места, а на чётном  — на 1 мень­ше. В част­но­сти, от­сю­да сле­ду­ет, что сумма любых двух со­сед­них чисел в пе­ре­ста­нов­ке равна сумме но­ме­ров их мест. То же от­но­сит­ся и к сумме лю­бо­го чётного числа иду­щих под­ряд чисел из пе­ре­ста­нов­ки.

б)  За­ме­тим также, что сумма чётного числа по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел не де­лит­ся на их ко­ли­че­ство, а сумма нечётного числа по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел де­лит­ся на их ко­ли­че­ство. Дей­стви­тель­но, найдём сумму по­сле­до­ва­тель­ных чисел, пер­вое из ко­то­рых равно a + 1, по­лу­чим

Тут пер­вое сла­га­е­мое все­гда де­лит­ся на n, а вто­рое, толь­ко когда n + 1 чётно.

в)  Если из пе­ре­став­лен­ных чисел вы­брать чётное число иду­щих под­ряд, то в силу за­ме­ча­ния а) их сумма равна сумме но­ме­ров их мест и не де­лит­ся на их ко­ли­че­ство в силу б). Если же из пе­ре­став­лен­ных чисел вы­брать нечётное число иду­щих под­ряд, то в силу за­ме­ча­ния а) не­слож­но за­ме­тить, что их сумма на 1 боль­ше или мень­ше суммы но­ме­ров их мест, ко­то­рая де­лит­ся на их ко­ли­че­ство в силу б). Зна­чит, сумма самих чисел не может де­лит­ся на их ко­ли­че­ство.

Ответ: 2, 1, 4, 3, ..., 100, 99.