РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 2133 Добавить в вариант

Сюжет 3

По кругу стоит N фишек черного и белого цветов. За ход можно поменять цвета у любой пары одноцветных фишек, стоящих через одну (между ними может стоять фишка любого цвета), или у любой тройки подряд идущих фишек, таких что цвет первой из них (считая по часовой стрелке) отличаются от цвета двух других.

3.4 Пусть N  =  1000, и ровно одна из фишек черная (снова разрешены обе операции). Можно ли получить расстановку из одних черных фишек?

Спрятать решение

Решение.

Нельзя. Пусть $a_i=0$ если на i-ой позиции стоит белая фишка и $a_i=1$ иначе. Рассмотрим сумму $\sum a_i 2 в степени левая круглая скобка i правая круглая скобка$ по модулю 5  — она корректно определена, т. к. остатки по модулю 5 повторяются с периодом 4, а 1000 делится на 4. Первая операция добавляет или вычитает из суммы $2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка =5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка =0,$ вторая:

$2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка k плюс 2 правая круглая скобка = минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка =0 .$

Tо есть эта сумма является инвариантом, но для белой расстановки она равна нулю, а для расстановки с одной черной  — не равна.

Ответ: нет, нельзя.

Олимпиада Юношеской математической школы, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Разное. Упорядочение

Спрятать решение · Помощь

Тип 21 № 2126 Добавить в вариант

3.1 Пусть N  =  8. Докажите, что можно добиться того, чтобы осталось не более одной черной фишки.

Решение · Помощь