При благоустройстве городского сада «Пифагор» сначала были проложены три аллеи, образующие прямоугольный треугольник с острым углом 
Следующие аллеи проложили как внешние квадраты на сторонах этого треугольника (получилась фигура, иллюстрирующая теорему Пифагора и называемая пифагоровыми штанами). Наконец, на третьем этапе соединили прямолинейными аллеями центр наибольшего квадрата с вершиной прямого угла, а центры двух меньших квадратов друг с другом. Определите, какая из аллей третьего этапа имеет большую длину? При каком значении угла 
их длины различаются сильнее всего?
Обозначим исходный треугольник ABC (угол C — прямой), центры квадратов O1, O2, O3, вершину одного из квадратов D (см. рис). Пусть угол A равен
Пусть стороны исходного треугольника, противолежащие вершинам A, B, C, имеют длины a, b, c соответственно. Тогда
(утлы между диагональю и стороной квадрата), следовательно, отрезки 
и 
лежат на одной примой. Каждый из них равен половине диагонали своего квадрата. Значит,
Треугольники ABC и 
— прямоугольные, следовательно, они вписаны в одну и ту же окружность с диаметром AB. Таким образом, вписанные угль 
и 
опираются на одну и ту же дугу, то есть они равны. Но
(угль между диагональю и стороной квадрата). Следовательно, 
и 
так как каждый из них равен 
Таким образом, треугольники DAB и 
подобны. Отсюда
Теперь можно найти
Получается, что 
каков 6ы ни был исходный прямоугольный треугольник ABC.
Ответ: 
при любом значении 